[论文解读] A Convergent Numerical Scheme for Scattering of Aperiodic Waves from Periodic Surfaces Based on the Floquet-Bloch Transform

Armin Lechleiter, Ruming Zhang|arXiv (Cornell University)|Mar 25, 2016

Electromagnetic Scattering and Analysis参考文献 1被引用 4

一句话总结

本文提出了一种用于周期性表面散射的非周期波的收敛数值格式，通过Floquet-Bloch变换将无界散射问题转化为有界单元中的准周期性问题族。该方法结合了准周期性问题的有限元离散化与基于求积的逆Bloch变换，在严格误差分析下，实现了在网格尺寸 $h$ 和求积节点数 $N$ 上分别为 $O(h^2)$ 和 $O(N^{-1})$ 的最优收敛率。

ABSTRACT

Periodic surface structures are nowadays standard building blocks of optical devices. If such structures are illuminated by aperiodic time-harmonic incident waves as, e.g., Gaussian beams, the resulting surface scattering problem must be formulated in an unbounded layer including the periodic surface structure. An obvious recipe to avoid the need to discretize this problem in an unbounded domain is to set up an equivalent system of quasiperiodic scattering problems in a single (bounded) periodicity cell via the Floquet-Bloch transform. The solution to the original surface scattering problem then equals the inverse Floquet-Bloch transform applied to the family of solutions to the quasiperiodic problems, which simply requires to integrate these solutions in the quasiperiodicity parameter. A numerical scheme derived from this representation hence completely avoids the need to tackle differential equations on unbounded domains. In this paper, we provide rigorous convergence analysis and error bounds for such a scheme when applied to a two-dimensional model problem, relying upon a quadrature-based approximation to the inverse Floquet-Bloch transform and finite element approximations to quasiperiodic scattering problems. Our analysis essentially relies upon regularity results for the family of solutions to the quasiperiodic scattering problems in suitable mixed Sobolev spaces. We illustrate our error bounds as well as efficiency of the numerical scheme via several numerical examples.

研究动机与目标

• 开发一种数值方法，避免在非周期入射波照射周期性表面时求解无界域上的散射问题。
• 对基于逆Floquet-Bloch变换应用于准周期性散射问题的格式进行严格的收敛性与误差界分析。
• 证明准周期性解族在准周期性参数上具有弱可微性，并满足 $L^q$ 可积性（$1 \leq q < 2$），从而实现稳定数值积分。
• 通过控制误差衰减的数值示例，展示该格式的效率与精度。

提出的方法

• 利用Floquet-Bloch变换重新表述散射问题，将无界域问题转化为单个周期性单元内的准周期性问题族。
• 通过在准周期性参数 $\alpha \in \mathbb{R}$ 上使用求积规则对逆Floquet-Bloch变换进行近似，重构原始问题的解。
• 在有界单位胞腔中应用有限元方法求解每个准周期性散射问题，采用包含外部Dirichlet-to-Neumann算子的变分形式。
• 收敛性分析依赖于解族在混合Sobolev空间中的正则性结果，确保在 $\alpha$ 上弱导数的 $L^q$ 可积性（$q < 2$）。
• 通过平衡两部分误差建立误差界：有限元误差（$O(h^2)$）与求积误差（$O(N^{-1})$），得到联合误差估计 $\|u_{N,h} - u\|_{L^2} \leq C R(u^i) [h^2 + N^{-1}]$。
• 通过令 $h = c_0 N^{-1/2}$ 平衡 $h$ 与 $N$，对格式进行数值验证，$L^2$-误差的观测收敛率为 $O(N^{-1})$ 或更优。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否利用Floquet-Bloch变换推导出一种收敛的数值格式，用于周期性表面的非周期波散射，而无需在无界域上求解？
• RQ2 基于逆Bloch变换与准周期性问题有限元离散化的数值格式，其最优收敛率是多少？
• RQ3 解族在准周期性参数上的正则性如何影响求积近似的收敛性？
• RQ4 在Helmholtz散射背景下，能否为有限元与求积近似的组合建立严格的误差界？
• RQ5 在波数与源位置变化的实际示例中，数值结果与理论收敛率相比如何？

主要发现

• 该数值格式实现了联合误差界 $\|u_{N,h} - u\|_{L^2} \leq C R(u^i) [h^2 + N^{-1}]$，其中 $h$ 为有限元网格尺寸，$N$ 为求积节点数。
• 当 $h$ 固定为 $0.01$ 时，相对 $L^2$-误差在 $N \geq 320$ 时下降速度超过 $O(N^{-1})$，提示解族在 $\alpha$ 上的正则性估计可能有改进空间。
• 当 $N=320$ 时，有限元误差主导求积误差，观测收敛率为 $O(h^2)$，与理论预测一致。
• 当 $h$ 足够小时，求积误差占主导，误差以 $O(N^{-1})$ 速度衰减，证实了理论边界。
• 在 $h = c_0 N^{-1/2}$ 的数值示例中，部分情况的收敛斜率约为 $-1.5$，表明收敛速度优于 $O(N^{-1})$，支持该格式的鲁棒性。
• 六个示例中的观测收敛行为与理论 $O(h^2 + N^{-1})$ 误差估计一致，图3展示了相对 $L^2$-误差随 $N$ 变化的对数图，与预测速率吻合。