[论文解读] A Convergent Staggered Scheme for the Variable Density Incompressible Navier-Stokes Equations

J.‐C. Latché, Khaled Saleh|arXiv (Cornell University)|Mar 23, 2016

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 42被引用 20

一句话总结

本论文提出了一种针对可变密度不可压N-S方程的时间依赖问题的收敛、隐式、交错有限元格式，采用Rannacher-Turek单元，并结合基于有限体积法的对流项离散化，以保持离散动能平衡。关键贡献在于通过紧致性与拓扑度理论，严格证明了当网格和时间步长趋于零时，离散格式的解收敛于连续问题的弱解，从而在不依赖连续理论的前提下，既建立了收敛性，也通过构造性方法证明了弱解的存在性。

ABSTRACT

In this paper, we analyze a scheme for the time-dependent variable density Navier-Stokes equations. The algorithm is implicit in time, and the space approximation is based on a low-order staggered non-conforming finite element, the so-called Rannacher-Turek element. The convection term in the momentum balance equation is discretized by a finite volume technique, in such a way that a solution obeys a discrete kinetic energy balance, and the mass balance is approximated by an upwind finite volume method. We first show that the scheme preserves the stability properties of the continuous problem (L $\infty$-estimate for the density, L $\infty$ (L 2)-and L 2 (H 1)-estimates for the velocity), which yields, by a topological degree technique, the existence of a solution. Then, invoking compactness arguments and passing to the limit in the scheme, we prove that any sequence of solutions (obtained with a sequence of discretizations the space and time step of which tend to zero) converges up to the extraction of a subsequence to a weak solution of the continuous problem.

研究动机与目标

• 为可变密度不可压N-S方程开发一种稳定、一致且收敛的数值格式。
• 确保离散格式保持动能平衡，这对于模拟中的稳定性与可靠性至关重要。
• 证明当离散化参数趋于零时，离散解收敛于连续问题的弱解。
• 通过拓扑度理论与紧致性论证，证明每个网格与时间步长下离散解的存在性。

提出的方法

• 采用隐式时间格式，结合基于Rannacher-Turek单元的交错非协调有限元法处理速度与压力。
• 通过在对偶单元上采用有限体积法离散对流项，以保持离散动能平衡。
• 在原始单元上采用迎风有限体积法近似质量守恒，并通过重构对偶单元上的密度与通量，确保一致性。
• 采用拓扑度论证，证明每个网格与时间步长下离散解的存在性。
• 应用紧致性技术，从离散解中提取出一个收敛子列。
• 在离散方程中取极限，证明极限满足连续问题的弱形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 所提出的可变密度不可压N-S方程交错有限元格式，当空间与时间离散化参数趋于零时，是否收敛于弱解？
• RQ2 该格式是否能保持离散动能平衡？这种保持是否带来离散解的稳定性估计？
• RQ3 每个离散化层级下离散解的存在性是否得到保证？该存在性能否在不依赖连续理论的前提下被证明？
• RQ4 如何通过从原始单元数据重构对偶单元物理量，确保离散设置下的相容性与质量守恒？

主要发现

• 该格式保持了速度的L∞(L2)与L2(H1)估计，以及密度的L∞(L∞)估计，与连续问题的稳定性特征一致。
• 通过在对偶单元上采用有限体积法离散对流项，实现了离散动能平衡的保持，从而确保了稳定性并提升了数值可靠性。
• 通过拓扑度论证，保证了每个网格与时间步长下离散解的存在性。
• 通过紧致性与弱收敛论证，任意离散解序列（至多子列）均收敛于连续N-S方程的弱解。
• 收敛结果在最小假设下成立，且证明不依赖于连续解的存在性理论，从而为弱解的存在性提供了构造性证明。
• 该分析可推广至具有适当稳定化的可变粘度模型，且离散Korn不等式确保了对速度在H1范数下的控制。