[论文解读] A convergent Weil-Petersson metric on the Teichmüller space of bordered Riemann surfaces

David Radnell, Eric Schippers+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 4, 2014

Analytic and geometric function theory参考文献 11被引用 6

一句话总结

本文在满足 $2g + 2 - n > 0$ 的具有 $n$ 个边界分量的有边界的黎曼曲面的精细 Teichmüller 空间上建立了收敛的 Weil-Petersson 度量。通过将切空间建模为在双曲度量的某次幂下为全纯的 $L^2$ Beltrami 微分，作者证明该空间是一个具有明确定义且收敛的 Weil-Petersson 内积的 Hilbert 流形，从而确认了其几何自然性，并支持将其称为 'Weil-Petersson 类' Teichmüller 空间的命名。

ABSTRACT

Let $Σ$ be a Riemann surface of genus $g$ bordered by $n$ curves homeomorphic to the circle $\mathbb{S}^1$, and assume that $2g+2-n>0$. For such bordered Riemann surfaces, the authors have previously defined a Teichmüller space which is a Hilbert manifold and which is holomorphically included in the standard Teichmüller space. Based on this, we present alternate models of the aforementioned Teichmüller space and show in particular that it is locally modelled on a Hilbert space of $L^2$ Beltrami differentials, which are holomorphic up to a power of the hyperbolic metric, and has a convergent Weil-Petersson metric.

研究动机与目标

• 在具有 $n > 0$ 个边界分量的有边界的黎曼曲面的精细 Teichmüller 空间上建立一个明确定义且收敛的 Weil-Petersson 度量。
• 证明该 Teichmüller 空间的切空间可局部建模为在双曲度量的某次幂下为全纯的 $L^2$ Beltrami 微分的 Hilbert 空间。
• 通过证明其为具有收敛 WP 度量的 Hilbert 流形，确认精细 Teichmüller 空间的几何与分析自然性。
• 基于其度量与结构特性，证明应将精细空间重新命名为 'Weil-Petersson 类' Teichmüller 空间。

提出的方法

• 作者利用 Friedan-Shenker-Vafa 的模空间构造中的纤维结构，将精细 Teichmüller 空间定义为 Hilbert 流形。
• 他们通过在基面上定义在双曲度量的某次幂下为全纯的 $L^2$ Beltrami 微分来定义切空间，记为 $H_{-1,1}(\Sigma)$。
• 通过在曲面上对 $\mu \overline{\nu} \rho_\Sigma^2$ 的积分显式定义 Weil-Petersson 内积，其中 $\rho_\Sigma$ 为双曲面积形式。
• 使用基点变换映射 $f^*$ 在任意点定义度量，确保其在基点选择下不变。
• 该构造依赖于 [15] 和 [17] 中的缝合技术，且应用隐函数定理以建立局部全纯微分同胚。
• 通过证明图册映射的微分是单射且具有 $C^1$ 逆，证明度量在所有点上明确定义且收敛。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有 $n > 0$ 个边界分量的有边界的黎曼曲面的精细 Teichmüller 空间是否允许存在收敛的 Weil-Petersson 度量？
• RQ2 该 Teichmüller 空间的切空间是否可建模为在双曲度量的某次幂下为全纯的 $L^2$ Beltrami 微分的 Hilbert 空间？
• RQ3 该空间上的 Weil-Petersson 度量是否明确定义且在基点改变下不变？
• RQ4 该精细 Teichmüller 空间是否可自然识别为具有收敛 WP 度量的 Hilbert 流形，从而支持其被称为 'Weil-Petersson 类'？

主要发现

• 当 $2g + 2 - n > 0$ 时，具有 $n$ 个边界分量的有边界的黎曼曲面的精细 Teichmüller 空间是局部建模于在双曲度量的某次幂下为全纯的 $L^2$ Beltrami 微分空间 $H_{-1,1}(\Sigma)$ 的 Hilbert 流形。
• Weil-Petersson 度量通过内积 $\left<\mu,\nu\right>_{[\Sigma,\text{Id},\Sigma]} = \iint_{\Sigma} \mu \overline{\nu} \rho_\Sigma^2$ 显式定义，且在坐标变换下不变。
• 该度量在 Teichmüller 空间的所有点上均明确定义且收敛，一般点 $[\Sigma,f,\Sigma_0]$ 处的度量通过基点变换映射 $f^*$ 的拉回定义。
• 在单位元处的切空间同构于 $H_{-1,1}\left(\Sigma\right)$，且图册映射 $\Phi$ 的微分是单射并具有 $C^1$ 逆，从而确认了局部全纯微分同胚性质。
• 该空间具有以 $H_{-1,1}(\Sigma)$ 为模型的图册，每个图册映射 $\Phi_{(\Sigma,f,\Sigma_0)}$ 是到某个开邻域的全纯微分同胚。
• 作者基于其收敛性质与 Hilbert 流形结构，合理化了将精细 Teichmüller 空间重新命名为 'Weil-Petersson 类' Teichmüller 空间的命名。