[论文解读] A converse theorem for Borcherds products on $X_0(N)$

Bruinier, Jan Hendrik, Schwagenscheidt, Markus|arXiv (Cornell University)|Jun 25, 2018

Analytic Number Theory Research被引用 5

一句话总结

本文建立了关于 X₀(N) 上广义 Borcherds 乘积的弱逆定理，证明了任意 Fricke-不变的 Γ₀(N) 上的亚纯模形式，若其除子支持在 Heegner 除子与定义在 ℚ 上的尖点上，则必为权 1/2 的调和 Maass 形式之 Borcherds 乘积。此外，本文还给出了乘子系统有限性的判别准则，该准则与权 2 新形式的中心 L-值消失相关联，从而将模形式的算术性质与傅里叶系数的代数性联系起来。

ABSTRACT

We show that every Fricke invariant meromorphic modular form for $\Gamma_0(N)$ whose divisor on $X_0(N)$ is defined over $\mathbb{Q}$ and supported on Heegner divisors and the cusps is a generalized Borcherds product associated to a harmonic Maass form of weight $1/2$. Further, we derive a criterion for the finiteness of the multiplier systems of generalized Borcherds products in terms of the vanishing of the central derivatives of $L$-function of certain weight $2$ newforms. We also prove similar results for twisted Borcherds products.

研究动机与目标

• 在模曲线 X₀(N) 上建立广义 Borcherds 乘积的逆定理，证明：除子支持在 Heegner 除子上且尖点除子定义在 ℚ 上的亚纯模形式，必为权 1/2 的调和 Maass 形式的 Borcherds 乘积。
• 刻画此类 Borcherds 乘积的乘子系统为有限阶的条件，并将其与相关模形式的算术性质联系起来。
• 将逆定理推广至扭曲 Borcherds 乘积，并基于 Hecke 特征形式与 L-函数导出傅里叶系数代数性的判别准则。
• 证明乘子系统的有限性等价于调和 Maass 形式正则部分中某些系数的有理性，利用微分周期的超越性结果。

提出的方法

• 利用奇异 theta 提升，将权 1/2 的格 Lₙ = ℤ(N)⊕U 的 Weil 表示下的调和 Maass 形式与 X₀(N) 上的亚纯模形式关联起来。
• 从调和 Maass 形式 f ∈ H⁺₁/₂,ρₙ 的主部构造广义 Borcherds 乘积，确保其除子与给定的 Heegner 除子和尖点的线性组合一致。
• 应用 ξ-算子将调和 Maass 形式映射至尖点形式，并利用 ξ₁/₂ 的像确定 Borcherds 乘积的乘子系统。
• 利用尖点形式的正交分解与 Hecke 特征形式理论，分解 ξ₁/₂ 的像，并将问题约化为研究权 3/2 的新形式。
• 借助 Shimura 对应，将权 3/2 尖点形式与权 2 新形式关联，并利用关联 L-函数的中心 L-值判断乘子系统的有限性。
• 应用超越理论中的代数性结果（Waldschmidt, Wüstholz, Scholl），证明乘子系统的有限性等价于调和 Maass 形式正则部分中傅里叶系数的有理性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，Γ₀(N) 上的亚纯模形式，其除子支持在 Heegner 除子上且尖点除子定义在 ℚ 上，是权 1/2 的调和 Maass 形式的广义 Borcherds 乘积？
• RQ2 广义 Borcherds 乘积的乘子系统何时为有限阶？其算术特征如何刻画？
• RQ3 调和 Maass 形式正则部分的傅里叶系数的代数性与关联权 2 新形式中心 L-值消失之间的确切关系为何？
• RQ4 在本逆定理设定下，扭曲 Borcherds 乘积的行为如何？何种条件可保证其代数性或乘子系统的有限性？

主要发现

• 每个 Fricke-不变的 Γ₀(N) 上的亚纯模形式，若其在 X₀(N) 上的除子为 Heegner 除子的线性组合，且尖点除子定义在 ℚ 上，则必为唯一一个 f ∈ H⁺₁/₂,ρₙ 的广义 Borcherds 乘积。
• 广义 Borcherds 乘积的乘子系统为有限阶，当且仅当对所有 n ∈ ℤ，傅里叶系数 a⁺_f(n², n) 为代数数。
• 乘子系统的有限性等价于通过 Shimura 对应由 ξ₁/₂ 映射得到的权 2 新形式 G 的中心导数 L′(G, 1) = 0。
• 若 f 在 ξ₁/₂ 下的像为同时的 Hecke 特征形式，则系数 a⁺_f(n², n) 的代数性蕴含对应权 2 新形式 G 满足 L′(G, 1) = 0。
• 调和 Maass 形式 f 的主部可选取代数系数，当且仅当其关联的 Borcherds 乘积的乘子系统为有限阶。
• 通过结合 Hecke 特征形式与正交分解技术，构造出 f，确保其主部为代数系数，且在 ξ₁/₂ 下映射到目标尖点形式。