[论文解读] A convex approach to differential inclusions with prox-regular sets: stability analysis and observer design

Samir Adly, Abderrahim Hantoute+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 17, 2017

Stability and Controllability of Differential Equations被引用 1

一句话总结

本文提出一种凸分析方法，用于研究由近似凸集的法锥与Lipschitz扰动所控制的微分包含。通过建立与极大单调算子包含的等价关系，该方法使经典单调算子理论得以应用，以证明解的存在性、Lyapunov稳定性及解的正则性，并将该框架应用于设计一种具有指数收敛性的Luenberger型观测器。

ABSTRACT

In this paper, we study the existence and the stability in the sense of Lyapunov of solutions differential inclusions governed by the normal cone to a prox-regular set and subject to a Lipschitzian perturbation. We prove that such, apparently, more general nonsmooth dynamics can be indeed remodelled into the classical theory of differential inclusions involving maximal monotone operators. This result is new in the literature and permits us to make use of the rich and abundant achievements in this class of monotone operators to derive the desired existence result and stability analysis, as well as the continuity and differentiability properties of the solutions. This going back and forth between these two models of differential inclusions is made possible thanks to a viability result for maximal monotone operators. As an application, we study a Luenberger-like observer, which is shown to converge exponentially to the actual state when the initial value of the state's estimation remains in a neighborhood of the initial value of the original system.

研究动机与目标

• 建立在Lipschitz扰动下，涉及近似凸集法锥的微分包含解的存在性与Lyapunov稳定性的理论框架。
• 弥合由近似凸集所支配的非光滑动力系统与极大单调算子经典理论之间的鸿沟。
• 利用极大单调算子理论的丰富成果，推导解的连续性与可微性等性质。
• 将理论框架应用于设计具有保证收敛性的Luenberger型观测器。

提出的方法

• 利用极大单调算子的可行性结果，建立近似凸集上法锥包含与由极大单调算子所控制的包含之间的等价关系。
• 将涉及近似凸集法锥的微分包含重新表述为极大单调算子包含，以应用已有的存在性与稳定性结果。
• 应用凸分析与单调算子理论的工具，分析解的正则性，包括连续性与可微性。
• 基于重新表述的动力学构造一种Luenberger型观测器，以估计系统状态。
• 证明当初始估计误差位于真实初始状态的邻域内时，观测器误差呈指数收敛。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在极大单调算子框架内重新表述涉及近似凸集法锥的微分包含？
• RQ2 在该类非光滑系统中，何种条件可确保解的Lyapunov稳定性？
• RQ3 在此类系统中，如何建立解的正则性（如连续性与可微性）？
• RQ4 能否为这类系统设计一种Luenberger型观测器，其在何种条件下收敛？
• RQ5 当初始估计误差较小时，观测器的收敛速率如何？

主要发现

• 带有近似凸集法锥与Lipschitz扰动的微分包含，等价于极大单调算子包含，从而可应用经典的存在性与稳定性理论。
• 在重新表述下，原系统的解被证明具有连续性与可微性，其正则性继承自极大单调算子框架。
• 通过与极大单调动力学的等价关系，建立了解的Lyapunov稳定性。
• 设计了一种Luenberger型观测器，并证明当初始估计误差位于真实初始状态的邻域内时，其可指数收敛至真实状态。