[论文解读] A convex formulation of strict anisotropic norm bounded real lemma

M. M. Tchaikovsky, Alexander P. Kurdyukov+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2011

Control Systems and Identification参考文献 6被引用 5

一句话总结

本文提出了一类线性离散时间时不变系统在具有不精确已知概率分布的随机扰动下的严格各向异性范数有界实引理（SANBRL）的凸优化公式。通过将各向异性范数界表示为线性矩阵不等式（LMI）和行列式不等式，该方法实现了高效的计算与次优控制器设计，显著提升了相较于先前同伦法的数值可处理性。

ABSTRACT

This paper is aimed at extending the H-infinity Bounded Real Lemma to stochastic systems under random disturbances with imprecisely known probability distributions. The statistical uncertainty is measured in entropy theoretic terms using the mean anisotropy functional. The disturbance attenuation capabilities of the system are quantified by the anisotropic norm which is a stochastic counterpart of the H-infinity norm. A state-space sufficient criterion for the anisotropic norm of a linear discrete time invariant system to be bounded by a given threshold value is derived. The resulting Strict Anisotropic Norm Bounded Real Lemma involves an inequality on the determinant of a positive definite matrix and a linear matrix inequality. It is shown that slight reformulation of these conditions allows the anisotropic norm of a system to be efficiently computed via convex optimization.

研究动机与目标

• 将${\mathcal{H}_{\infty}}$有界实引理扩展至具有扰动分布统计不确定性的随机系统。
• 开发一种数值可处理的准则，用于验证系统的各向异性范数是否被给定阈值所限制。
• 通过凸优化实现各向异性范数的高效计算与次优控制器设计。
• 克服同伦法求解器在各向异性控制中求解耦合非线性矩阵方程时的计算局限性。
• 将各向异性范数与${\mathcal{H}_{2}}$和${\mathcal{H}_{\infty}}$范数统一为极限情况。

提出的方法

• 推导出系统各向异性范数被阈值限制的状态空间充分条件，涉及正定矩阵上的线性矩阵不等式（LMI）和行列式不等式。
• 重新表述SANBRL条件，以实现通过凸优化和半定规划高效计算各向异性范数。
• 使用平均各向异性泛函作为扰动分布统计不确定性的信息论度量。
• 将各向异性范数作为${\mathcal{H}_{\infty}}$范数的随机对应量，量化在有界平均各向异性条件下的扰动衰减性能。
• 通过与基准系统上的同伦法算法（HBA）比较计算性能，验证了该方法的有效性。
• 表明新方法在不同输入平均各向异性水平下均保持一致的性能表现，而HBA则表现不稳定。

实验结果

研究问题

• RQ1 线性离散时间时不变系统的各向异性范数能否通过凸优化框架进行验证？
• RQ2 SANBRL中的行列式不等式与LMI条件如何重新表述以实现高效计算？
• RQ3 与现有同伦法求解器相比，所提出的凸公式在计算上具有何种优势？
• RQ4 ${\mathcal{H}_{2}}$和${\mathcal{H}_{\infty}}$范数如何作为各向异性范数在特定极限情况下的特例出现？
• RQ5 所提出的方法在不同统计不确定性水平（平均各向异性）下是否保持鲁棒性和性能一致性？

主要发现

• 所提出的SANBRL凸公式通过凸优化和半定规划实现了各向异性范数的高效计算。
• 凸优化过程（COP）的平均CPU时间在不同平均各向异性水平下几乎保持恒定，平均为3.62秒，而同伦法算法（HBA）的计算时间随$a$增加而上升。
• COP的成功率稳定在约92.5%–93.3%，而HBA的成功率随$a$从0增至20，从93.2%下降至26.5%。
• HBA因达到最大迭代次数而失败的运行比例随$a$增加从0%上升至38.3%，而COP的失败率始终保持在13%以下。
• 与${\mathcal{H}_{\infty}}$控制相比，各向异性范数公式减少了保守性，并且在相关扰动下性能优于${\mathcal{H}_{2}}$控制。
• ${\mathcal{H}_{\infty}}$和${\mathcal{H}_{2}}$范数分别在平均各向异性$a$趋近于0或无穷大时，作为各向异性范数的极限情况被恢复。