[论文解读] A Convex Positivstellensatz

Jean B. Lasserre|arXiv (Cornell University)|Jan 24, 2008

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 4被引用 1

一句话总结

本文通過證明幾乎所有在凸基本閉半代數集 K⊂ℝⁿ 上非負的凸多項式都屬於由 K 的定義凹多項式生成的特定二次模，從而建立了一個凸的 Positivstellensatz。關鍵結果是，這些多項式幾乎總是平方和，為凸集上的凸非負多項式提供了構造性表達。

ABSTRACT

Abstract. We provide a specific representation of convex polynomials nonnegative on a convex (not necessarily compact) basic closed semi-algebraic set K⊂R n. Namely, we prove that almost all of them belong to a specific subset of the quadratic module generated by the concave polynomials that define K. In particular, almost all nonnegative convex polynomials are sums of squares.

研究动机与目标

• 建立凸基本閉半代數集上非負凸多項式的表徵定理。
• 描述在這些集合上非負的凸多項式集合的結構。
• 證明幾乎所有此類非負凸多項式都位於由定義該集合的凹多項式生成的特定二次模內。
• 證明幾乎所有非負凸多項式都是平方和，將經典的 Positivstellensatz 結果推廣至凸設定。

提出的方法

• 作者分析由凹多項式定義的凸基本閉半代數集上凸多項式的結構。
• 他們引入由集合 K 的定義凹多項式生成的特定二次模。
• 他們證明幾乎所有在 K 上非負的凸多項式都屬於此二次模。
• 證明依賴於多項式理想中凸性與非負性的幾何與代數性質。
• 他們在凸多項式空間中以「幾乎全部」的意義使用「一般性」的概念。
• 該表達式表明，此類多項式為平方和。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在特定代數結構中表徵凸基本閉半代數集上非負的凸多項式？
• RQ2 在多項式優化中，凸性、非負性與平方和之間的關係為何？
• RQ3 凸集的定義凹多項式如何影響非負凸多項式的表徵？
• RQ4 凸集上非負凸多項式在多大程度上可表徵為平方和？
• RQ5 是否存在經典 Positivstellensatz 在非負多項式上的凸類比？

主要发现

• 幾乎所有在凸基本閉半代數集 K⊂ℝⁿ 上非負的凸多項式都屬於由定義 K 的凹多項式生成的特定二次模。
• 此表徵意味著此類多項式幾乎總是平方和。
• 該結果為凸集上非負凸多項式提供了構造性代數特徵。
• 「幾乎全部」條件在凸多項式空間中以一般性意義解釋。
• 該定理將經典 Positivstellensatz 推廣至凸設定，為多項式優化提供了新工具。