[论文解读] A cookbook for finite element methods for nonlocal problems, including quadrature rules and approximate Euclidean balls

Marta D’Elia, Max Gunzburger+1 more|arXiv (Cornell University)|May 21, 2020

Numerical methods in engineering参考文献 41被引用 12

一句话总结

本文提出了一套针对非局部问题的有限元方法（FEM）综合指南，重点在于通过积分规则和近似非局部邻域（特别是欧几里得球的多边形近似）实现刚度矩阵的高效组装。研究表明，这些近似方法在显著降低计算成本的同时，仍能保持最优收敛速率，使非局部模型的FEM在计算效率上可与 meshfree 方法相媲美。

ABSTRACT

The implementation of finite element methods (FEMs) for nonlocal models with a finite range of interaction poses challenges not faced in the partial differential equations (PDEs) setting. For example, one has to deal with weak forms involving double integrals which lead to discrete systems having higher assembly and solving costs due to possibly much lower sparsity compared to that of FEMs for PDEs. In addition, one may encounter non-smooth integrands. In many nonlocal models, nonlocal interactions are limited to bounded neighborhoods that are ubiquitously chosen to be Euclidean balls, resulting in the challenge of dealing with intersections of such balls with the finite elements. We focus on developing recipes for the efficient assembly of FEM stiffness matrices and on the choice of quadrature rules for the double integrals that contribute to the assembly efficiency and also posses sufficient accuracy. A major feature of our recipes is the use of approximate balls, e.g., several polygonal approximations of Euclidean balls, that, among other advantages, mitigate the challenge of dealing with ball-element intersections. We provide numerical illustrations of the relative accuracy and efficiency of the several approaches we develop.

研究动机与目标

• 解决由于双重积分和密集稀疏模式导致的非局部模型中有限元刚度矩阵组装计算成本高、复杂度大的问题。
• 为非局部弱形式中出现的双重积分开发实用、高效且精确的积分规则。
• 引入近似非局部邻域（例如欧几里得球的多边形近似），以简化几何积分并减轻计算负担。
• 提供选择既能保持精度又不损害效率的积分规则的指导，尤其适用于二维和三维模拟。
• 通过数值实验表明，近似邻域可实现最优收敛速率，同时大幅减少组装时间。

提出的方法

• 提出一种系统性方法，通过弱形式中外层和内层积分的双重积分规则，组装非局部FEM刚度矩阵。
• 通过欧几里得球的多边形近似引入近似非局部邻域，以简化积分区域并避免复杂的球体-单元交集计算。
• 利用集合对称差推导非局部邻域近似的误差界，表明随着近似精度提高，误差收敛。
• 应用柯西-施瓦茨不等式和 $L^2$-范数估计，界定精确与近似非局部双线性形式之间的一致性误差。
• 利用能量范数和离散问题的适定性，将一致性误差与解的整体误差关联起来。
• 通过二维数值实验验证所提方法的精度与效率，比较不同球形邻域的多边形近似效果。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在不牺牲精度的前提下提高非局部FEM刚度矩阵组装的效率？
• RQ2 使用欧几里得球的多边形近似对离散系统的收敛速率和条件数有何影响？
• RQ3 在非局部FEM中，哪种双重积分的积分规则在精度与计算成本之间提供了最佳权衡？
• RQ4 近似非局部邻域是否能在降低几何积分复杂度的同时保持最优收敛速率？
• RQ5 邻域近似引入的误差与有限元近似及积分误差相比如何？

主要发现

• 使用欧几里得球的多边形近似作为非局部邻域，可在能量范数下实现与精确非局部模型相同的最优收敛速率。
• 二维数值结果表明，某些低成本的多边形近似可显著降低计算成本，同时保持最优精度。
• 精确与近似非局部双线性形式之间的一致性误差被一个与真实邻域和近似邻域对称差的最大测度成正比的项所界定。
• 误差界依赖于核函数的ess sup 和对称差的最大体积，确保随着近似精度提高，误差收敛。
• 所提方法在精度上可与精确非局部FEM相媲美，但组装和求解成本显著降低，使其适用于三维模拟。
• 本研究提供了一套实用的、基于配方的非局部FEM实现指南，包括积分规则选择和邻域近似方法，可推广至其他非局部模型。