[论文解读] A Copositive Approach for Two-Stage Adjustable Robust Optimization with Uncertain Right-Hand Sides

Guanglin Xu, Samuel Burer|arXiv (Cornell University)|Sep 23, 2016

Risk and Portfolio Optimization参考文献 22被引用 4

一句话总结

本文提出了一种具有不确定右端项的两阶段可调鲁棒优化的共正性规划重 formulation，相较于标准仿射策略，能够实现更紧致的基于半定规划的近似。该方法提供了可计算的、多项式时间可解的近似，其理论保证更强，并能精确求解某些仿射策略严重失效的实例类别。

ABSTRACT

We study two-stage adjustable robust linear programming in which the right-hand sides are uncertain and belong to a convex, compact uncertainty set. This problem is NP-hard, and the affine policy is a popular, tractable approximation. We prove that under standard and simple conditions, the two-stage problem can be reformulated as a copositive optimization problem, which in turn leads to a class of tractable, semidefinite-based approximations that are at least as strong as the affine policy. We investigate several examples from the literature demonstrating that our tractable approximations significantly improve the affine policy. In particular, our approach solves exactly in polynomial time a class of instances of increasing size for which the affine policy admits an arbitrarily large gap.

研究动机与目标

• 开发一种针对具有不确定右端项的两阶段可调鲁棒优化（ARO）的更紧致、可计算的近似方法，该问题为 NP-难问题，通常通过次优策略求解。
• 在不确定性集满足标准凸性与紧致性假设的前提下，建立 ARO 问题的共正性优化重 formulation。
• 推导出一组基于半定规划的近似，其优于仿射策略且计算上可行。
• 通过数值实例表明，所提出的近似在仿射策略失效时能显著缩小对偶间隙。
• 探究共正性方法是否对应于某一类特定的第二阶段策略，以及如何从解中提取此类策略。

提出的方法

• 将两阶段可调鲁棒线性规划重表述为在同质化不确定性集与非负象限乘积上的共正性优化问题。
• 利用共正性重 formulation 推导出基于完全正定锥的可计算内近似，从而形成一组半定规划的层次结构。
• 将内近似锥 $\mathrm{IB}(\widehat{\mathcal{U}} \times \mathbb{R}^m_+)$ 定义为共正锥的可计算松弛，以实现高效计算。
• 证明在标准假设（紧致性、凸性、可计算性）下，共正性重 formulation 是精确的，且内近似是有效的。
• 使用锥优化求解器（如 Mosek）实现该方法，并与仿射策略及蒙特卡洛下界进行性能比较。
• 通过具有结构化不确定性集（如第二类锥）的随机实例，测试方法的可扩展性与间隙缩减能力。

实验结果

研究问题

• RQ1 在标准假设下，具有不确定右端项的两阶段可调鲁棒优化问题能否被精确重表述为共正性规划？
• RQ2 所提出的基于半定规划的近似在最优性间隙方面，与广泛使用的仿射策略相比，质量如何？
• RQ3 共正性方法能否精确求解那些仿射策略存在任意大最优性间隙的实例？
• RQ4 是否存在一类特定的第二阶段策略（如多项式、非线性）被共正性方法隐式强制执行？
• RQ5 如何从内近似解中提取出具体的策略 $y(\cdot)$？

主要发现

• 在标准假设下，具有不确定右端项的两阶段可调鲁棒优化问题被重表述为共正性规划，提供了精确表示。
• 所提出的内近似 $\mathrm{IB}(\widehat{\mathcal{U}} \times \mathbb{R}^m_+)$ 生成了一组严格强于仿射策略的可计算半定规划层次结构。
• 在 1,000 个随机实例中，有 971 个实例的新界 $v_{\mathrm{IB}}^*$ 与仿射策略界 $v_{\mathrm{Aff}}^*$ 一致，其余 29 个实例的相对间隙平均缩小了 20.2%。
• 该方法能精确求解一类随规模增加而仿射策略出现任意大最优性间隙的实例，证明了其在最坏情况下的优越性。
• 计算结果表明，该方法具有合理的可扩展性：最大实例（第 5.3 节）在 35 秒内求解，包含 14,861 个变量和一个 73×73 的半定矩阵，而 1,000 个实例的平均求解时间为 0.73 秒。
• 即使在不满足假设 4（关于特定对偶解的存在性）的情况下，该方法依然有效，表明其对技术假设具有鲁棒性。