[论文解读] A Copula Statistic for Measuring Nonlinear Multivariate Dependence

Mohsen Ben Hassine, Lamine Mili+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2016

Advanced Statistical Methods and Models参考文献 38被引用 3

一句话总结

本文提出了协 Copula 统计量（CoS），一种基于经验 Copula 的新型多变量依赖度量，通过相对于 Fréchet-Hoeffding 边界和独立 Copula 的相对距离来量化非线性依赖。与 TICe、dCor、RDC 和 Ccor 相比，CoS 在检测单调和循环依赖关系方面表现出更优的统计功效，其近似正态性使得独立性检验更加稳健，并在噪声函数关系中展现出强大的 R² 等价性。

ABSTRACT

A new index based on empirical copulas, termed the Copula Statistic (CoS), is introduced for assessing the strength of multivariate dependence and for testing statistical independence. New properties of the copulas are proved. They allow us to define the CoS in terms of a relative distance function between the empirical copula, the Fréchet-Hoeffding bounds and the independence copula. Monte Carlo simulations reveal that for large sample sizes, the CoS is approximately normal. This property is utilised to develop a CoS-based statistical test of independence against various noisy functional dependencies. It is shown that this test exhibits higher statistical power than the Total Information Coefficient (TICe), the Distance Correlation (dCor), the Randomized Dependence Coefficient (RDC), and the Copula Correlation (Ccor) for monotonic and circular functional dependencies. Furthermore, the R2-equitability of the CoS is investigated for estimating the strength of a collection of functional dependencies with additive Gaussian noise. Finally, the CoS is applied to a real stock market data set from which we infer that a bivariate analysis is insufficient to unveil multivariate dependencies and to two gene expression data sets of the Yeast and of the E. Coli, which allow us to demonstrate the good performance of the CoS.

研究动机与目标

• 开发一种新的多变量依赖度量，以捕捉超越相关性的非线性与非单调关系。
• 解决现有方法如 dCor 和 RDC 在噪声条件下检测复杂函数依赖关系的局限性。
• 基于 CoS 建立一种具有高功效和大样本正态性的独立性统计检验。
• 评估 CoS 在添加加性高斯噪声的不同函数形式下对依赖强度估计的 R² 等价性。
• 在真实世界数据（包括股票市场和基因表达数据集）上展示 CoS 的有效性。

提出的方法

• CoS 定义为经验 Copula 与 Fréchet-Hoeffding 边界之间的相对距离函数，以独立 Copula 作为参考基准。
• 该方法利用经验 Copula 非参数地估计依赖结构，无需假设参数形式。
• 通过蒙特卡洛模拟建立了大样本下 CoS 的渐近正态性，从而支持参数推断。
• 基于 CoS 的正态近似构建独立性检验，拒绝域基于标准正态分位数确定。
• 使用具有单调、循环及噪声函数依赖关系的模拟数据，将 CoS 与 TICe、dCor、RDC 和 Ccor 进行比较。
• 通过测量 CoS 在添加噪声的不同函数关系中对可解释方差比例估计的一致性，评估其 R² 等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 CoS 是否能比现有方法更有效地检测非线性与非单调多变量依赖？
• RQ2 在大样本规模下，CoS 是否表现出渐近正态性，从而支持可靠的统计检验？
• RQ3 在添加加性噪声的不同函数形式下，CoS 在估计依赖强度方面的 R² 等价性表现如何？
• RQ4 CoS 是否能揭示真实世界数据中双变量分析失效时隐藏的多变量依赖？
• RQ5 基于 CoS 的独立性检验是否比 TICe、dCor、RDC 和 Ccor 在检测各类函数依赖关系方面具有更高的统计功效？

主要发现

• 基于 CoS 的独立性检验在检测单调和循环函数依赖关系方面，统计功效高于 TICe、dCor、RDC 和 Ccor。
• 在大样本规模下，CoS 近似服从正态分布，支持有效的参数检验。
• CoS 展现出强大的 R² 等价性，即在不同函数关系中对加性高斯噪声下可解释方差比例的估计具有一致性。
• 在真实股票市场数据中，双变量分析无法揭示多变量依赖，而 CoS 有效识别出这些依赖。
• 在酿酒酵母和大肠杆菌基因表达数据集中，CoS 识别出其他方法遗漏或低估的有意义多变量依赖。
• 即使在存在噪声的情况下，CoS 在检测复杂非线性依赖关系方面也优于现有方法，尤其在循环和单调关系中表现更优。