[论文解读] A cottage industry of lax extensions

Dirk Hofmann, Gavin J. Seal|arXiv (Cornell University)|Jul 29, 2015

Advanced Algebra and Logic参考文献 10被引用 12

一句话总结

本文建立了在 V-幂集函子 PV 下方的 Set-基单子的comma范畴与这些单子到 V-关系的结合性松散扩张之间的伴随关系。通过单位元 (T,V)-关系的通用性质，构建了单子到 V-关系的 Kleisli 扩张，表明具有此类扩张的单子的松散代数范畴同构于 T-单子范畴。其主要贡献在于通过一个反射子范畴嵌入，为产生同构的松散代数范畴的单子族识别出一个典范代表。

ABSTRACT

In this work, we describe an adjunction between the comma category of SET-based monads under the V-powerset monad and the category of associative lax extensions of SET-based monads to the category of V-relations. In the process, we give a general construction of the Kleisli extension of a monad to the category of V-relations.

研究动机与目标

• 为基于集合的单子向量值（quantale）V-关系的松散扩张建立一个通用框架。
• 通过伴随关系识别出一个典范代表，以解决产生同构的松散代数范畴的单子的非唯一性问题。
• 通过涉及单位元 (T,V)-关系的通用性质，构建单子到 V-关系的 Kleisli 扩张。
• 证明具有结合性松散扩张的单子的松散代数范畴同构于 T-单子范畴。
• 建立 comma 范畴 (PV ↓ MndSet) 作为收敛单子范畴 (V-LaxExt) 的全反射子范畴的嵌入，为每个同构类的松散代数范畴提供典范选择。

提出的方法

• 以 V-幂集函子 PV 为基，构造 comma 范畴 (PV ↓ MndSet)，表示配备从 PV 到其自身的态射的 Set 上的单子。
• 应用 V-Rel^op 与 Set 之间的伴随关系 (−)◦ ⊣ V-Rel(−, 1)，将单子提升至 V-关系。
• 通过函子 (−)♯ 构造单子 T 到 V-关系的 Kleisli 扩张 ˆT，其中 (−)♯ 是从 (T,V)-URel 到 Set 的遗忘函子的右伴随。
• 定义与结合性松散扩张 ˆT 相关的单位元 (T,V)-关系范畴 (T,V)-URel，并利用它来定义伴随关系中的反射子 F。
• 建立 (PV ↓ MndSet) 与 V-LaxExt 之间的伴随关系 F ⊣ G，其中 G 将单子态射 PV → T 映射为对 (T, ˇT)，其中 ˇT 为 Kleisli 扩张。
• 证明伴随关系的单位与余单位满足三角恒等式，通过在 (T,V)-关系范畴中的计算，确认伴随关系成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过 V-关系上的松散扩张，从产生同构的松散代数范畴的单子族中，典范地选择一个代表单子？
• RQ2 如何一般性地构造基于集合的单子到量值 V-关系范畴的 Kleisli 扩张？
• RQ3 具有结合性松散扩张到 V-关系的单子的松散代数范畴与 T-单子范畴之间有何关系？
• RQ4 V-幂集函子 PV 在组织基于集合的单子的松散扩张空间中起什么作用？
• RQ5 收敛单子范畴 (V-LaxExt) 是否可表征为 comma 范畴 (PV ↓ MndSet) 的反射子范畴？

主要发现

• 具有结合性松散扩张 ˆT 的单子 T 的松散代数范畴，通过定理 3.7.2 建立的序同构，同构于 T-单子范畴。
• 单子 T 到 V-关系的 Kleisli 扩张 ˆT 被构造为从 (T,V)-URel 到 Set 的遗忘函子的右伴随 (−)♯，提供到 V-关系的通用提升。
• 在 (PV ↓ MndSet) 与 V-LaxExt 之间建立了伴随关系 F ⊣ G，其中 F 将 (T, ˆT) 映射为由伴随关系 (−)♯ ⊣ (T,V)-URel(−,1) 诱导的单子，而 G 将单子态射 PV → T 映射为 (T, ˇT)，其中 ˇT 为 Kleisli 扩张。
• 伴随关系的单位 Y: 1 → GF 与余单位 κ: FG → 1 满足三角恒等式，确认 F 为左伴随，G 为右伴随，且 κ 在 (PV ↓ MndSet) 中为同构。
• 当 T 为 V-幂集增强时，同构 (T,V)-Cat ≅ T-Mon 成立，且该同构在基量值通过 τ: PV → T 的变换下保持不变。
• 对于任意量值 W 与单子态射 κ: PW → PV，当 T 配备诱导的增强结构时，(T,V)-Cat 同构于 (T,W)-Cat，表明在该类态射下，松散代数结构独立于基量值。