[论文解读] A counterexample on spectra of zero patterns

Yaroslav Shitov|arXiv (Cornell University)|Dec 6, 2016

Matrix Theory and Algorithms参考文献 1被引用 4

一句话总结

本文通过构造一个 $8\times8$ 的零模式，提供了矩阵理论中复数版本 $2n$ 猜想的反例，该模式仅含 $15 = 2\cdot8 - 1$ 个非零元素，且在 $\mathbb{C}$ 上是谱任意的。作者使用带变量的结构化矩阵与代数几何技术，证明了所有关于 $\mathbb{C}$ 的首一八次多项式均可作为特征多项式实现，从而推翻了在 $\mathbb{C}$ 上谱任意性所需非零元素最小数量为 $2n$ 的猜想。

ABSTRACT

An $n imes n$ zero pattern $S$, which is a matrix with entries $*$ and $0$, is called spectrally arbitrary with respect to a field $F$ if any monic polynomial $f$ of degree $n$ can be realized as the characteristic polynomial of a matrix obtained from $S$ by replacing the $*$'s with non-zero elements of $F$. We construct an $n imes n$ zero pattern that is spectrally arbitrary with respect to $\mathbb{C}$ and has $2n-1$ nonzero entries.

研究动机与目标

• 为挑战广泛持有的 $2n$ 猜想，该猜想认为 $2n$ 个非零元素是 $n\times n$ 零模式在 $\mathbb{R}$ 上谱任意的最小数量。
• 研究在 $\mathbb{C}$ 上谱任意性的最小非零元素数量是否也如猜想所述为 $2n$。
• 构造一个具有 $2n-1$ 个非零元素的零模式的具体例子，使其在 $\mathbb{C}$ 上谱任意，从而推翻 $2n$ 猜想的复数版本。
• 回答 McDonald 和 Yielding 提出的关于谱可实现性及谱任意模式结构的开放问题。

提出的方法

• 定义一个特定的 $8\times8$ 零模式 $S$，其包含 $15$ 个非零元素，以变量 $x_1, \dots, x_8$ 表示，这些变量可取任意非零复数值。
• 从 $S$ 构造一个矩阵 $X(x_1, \dots, x_8)$，并计算其特征多项式 $\varphi(t) = \det(tI - X)$，该多项式为系数属于 $\mathbb{C}[x_1, \dots, x_8]$ 的首一多项式。
• 使用符号计算表明，系数 $\varphi_4$ 是 $\varphi_7$ 的倍数，这意味着 $\varphi_7 = 0$ 仅当 $\varphi_4 = 0$，从而限制了可实现多项式的集合。
• 通过根的初等对称基本量 $\tau_i$ 表示 $x_1, \dots, x_8$ 的有理函数解，表明只要对应的有理函数分母或分子不为零，所有首一多项式均可实现。
• 定义一个多项式 $\pi(\tau_0, \dots, \tau_7)$ 为所有有理函数分母与分子的最小公倍式，使得 $\pi \neq 0$ 意味着该多项式可实现。
• 利用 Vieta 公式及多项式 $\psi(\sigma) = \pi(s_8, \dots, s_1)$ 的总次数 94，证明任意包含 102 个不同复数的集合中，必存在一个包含 8 个元素的子集，其谱可由 $S$ 实现。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在少于 $2n$ 个非零元素的零模式，使其在 $\mathbb{C}$ 上谱任意？
• RQ2 在 $\mathbb{R}$ 上谱任意所需非零元素最小数量为 $2n$ 的 $2n$ 猜想，是否在复数域上也成立？
• RQ3 即使 $A$ 本身不是谱任意的，块对角模式 $\operatorname{diag}(A,B)$ 是否可能在 $\mathbb{C}$ 上谱任意？
• RQ4 零模式需满足何种代数条件，才能使其作为块出现在复数域上的谱任意块对角矩阵中？
• RQ5 为何实数版本的 $2n$ 猜想比复数版本更难以找到反例？

主要发现

• 一个 $8\times8$ 的零模式 $S$，仅含 $15 = 2\cdot8 - 1$ 个非零元素，其在 $\mathbb{C}$ 上是谱任意的，从而构成对 $2n$ 猜想复数版本的反例。
• 该模式 $S$ 允许实现所有关于 $\mathbb{C}$ 的首一八次多项式，包括 $t^8$ 和 $(t-1)^8$，作为由 $S$ 衍生的矩阵的特征多项式。
• 构造了一个在八个变量中总次数为 94 的多项式 $\psi(\sigma)$，使得 $\psi(\sigma) \neq 0$ 意味着一个由八个复数组成的集合 $\sigma$ 可作为矩阵 $S$ 的谱实现。
• 任意包含 708 个复数且至少包含 102 个不同元素的集合 $U$，均包含一个 8 元子集，其谱可由 $S$ 实现。
• 块对角矩阵 $\operatorname{diag}(S, D_{700})$，其中 $D_{700}$ 是一个 $1400\times1400$ 的由 $2\times2$ 全星号块构成的块对角矩阵，其在 $\mathbb{C}$ 上是谱任意的，且仅含 $1415 = 2\cdot708 - 1$ 个非零元素。
• 该结果回答了 McDonald 和 Yielding 提出的两个开放问题：在 $\mathbb{C}$ 上存在具有 $2n-1$ 个非零元素的谱任意零模式；存在模式 $A,B$，使得 $\operatorname{diag}(A,B)$ 是谱任意的，但 $A$ 不是。