[论文解读] A counterexample to a conjecture about triangle-free induced subgraphs of graphs with large chromatic number

Alvaro Carbonero, Patrick Hompe+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 20, 2022

Advanced Graph Theory Research参考文献 9被引用 14

一句话总结

本文构造了一类图族，其色数可任意大，团数至多为3，且所有不含三角形的诱导子图的色数至多为4。该构造基于一个有向图，其有向色数较大，不含长度至少为5的诱导奇有向圈，且团数有界，从而推翻了关于高色数、小团数图的诱导子图的一个长期存在的猜想。

ABSTRACT

We prove that for every $n$, there is a graph $G$ with $\chi(G) \geq n$ and $\omega(G) \leq 3$ such that every induced subgraph $H$ of $G$ with $\omega(H) \leq 2$ satisfies $\chi(H) \leq 4$. This disproves a well-known conjecture. Our construction is a digraph with bounded clique number, large dichromatic number, and no induced directed cycles of odd length at least 5.

研究动机与目标

• 为反驳一个著名猜想，即每个色数高且团数有界的图必然包含一个色数高且不含三角形的诱导子图。
• 研究高色数、小团数图中诱导子图的结构限制。
• 探讨在团数有界且不含长度至少为5的诱导奇有向圈的有向图中，有向色数的行为。
• 确定是否存在一个函数，使得排除长度至少为5的诱导奇有向圈的有向图的有向色数可由其团数有界。

提出的方法

• 递归构造有向图序列 {Dn}，从单个顶点开始，通过将 n−1 个 Dn−1 的副本与基于副本中顶点元组索引的新顶点组合而成。
• 定义 D′n 为 Dn 的变换，其中根据 Dn 中两顶点间唯一有向路径长度模3的结果添加边。
• 根据路径长度模3将 D′n 中的边划分为正负符号：长度 ≡1 mod 3 的边为正向边，长度 ≡2 mod 3 的边为反向边。
• 证明 Dn 为无环图，且任意两点间至多存在一条有向路径，从而确保 D′n 是一个定义良好的简单有向图。
• 利用 D′n 中边的符号结构，证明任意三个顶点无法两两相连，从而在底层无向图中避免出现三角形。
• 基于将顶点划分为避免正向或负向边的集合，提出一种四色着色论证，以界定任意不含三角形的诱导子图的色数。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个色数高且团数至多为3的图是否必然包含一个色数高且不含三角形的诱导子图？
• RQ2 是否存在一个函数 f，使得当有向图不含长度至少为5的诱导奇有向圈时，其有向色数可由 f(ω(D)) 有界？
• RQ3 对于排除了长度不等于 l 的诱导有向圈的有向图，其有向色数能否由团数有界（对某个 l）？
• RQ4 是否存在一个函数 f，使得当有向图不含长度至少为4的诱导有向圈时，其有向色数可由 f(ω(D)) 有界？

主要发现

• 对每个 n，存在一个图 G 满足 χ(G) ≥ n 且 ω(G) ≤ 3，使得每个满足 ω(H) ≤ 2 的诱导子图 H 都有 χ(H) ≤ 4，从而对所有 r ≥ 5 反驳了猜想 1.1。
• D′n 的底层无向图的色数至少为 n，团数至多为3，确认了对任意大的色数，此类图的存在性。
• 有向图 D′n 不含长度至少为5的诱导奇有向圈，且其底层无向图的团数至多为3。
• D′n 的有向色数至少为 n，且不含长度至少为5的诱导奇有向圈，表明在此类图中，有向色数不能由团数有界。
• D′n 的底层无向图的任意不含三角形的诱导子图的色数至多为4，这是基于边符号划分的四色着色论证的结果。
• 该构造为一个猜想提供了反例，即所有高色数、小团数的图必须包含一个高色数且不含三角形的诱导子图，目前仅剩下 r = 4 的情况尚未解决。