[论文解读] A Counterexample to the $2$-jet determination Chern-Moser Theorem in higher codimension

Francine Meylan|arXiv (Cornell University)|Mar 26, 2020

Holomorphic and Operator Theory参考文献 12被引用 5

一句话总结

本文构造了一个反例，推翻了高余维下实解析一般子流形的2-阶微分决定定理，展示了在ℂ⁹中余维5的Levi生成、非退化子流形，其存在非平凡的实解析无穷小CR自同构，且其2-阶微分与恒等映射相同。该反例否定了超出余维1的Chern-Moser定理的推广版本，尽管Tumanov已证明在严格强拟凸性条件下该结果仍然成立。

ABSTRACT

One constructs an example of a generic quadratic submanifold of codimension $5$ in $\Bbb C^9$ which admits a real analytic infinitesimal CR automorphism with homogeneous polynomial coefficients of degree $3.$

研究动机与目标

• 为证明实解析一般子流形在余维大于1时，Chern-Moser 2-阶微分决定定理的推广版本不成立。
• 构造ℂ⁹中一个具体的例子：余维5的广义、Levi生成、非退化二次子流形，其存在非平凡的无穷小CR自同构，且其2-阶微分平凡。
• 阐明在缺乏严格强拟凸性时，高余维下阶微分决定性结果的局限性。
• 强调一般Levi非退化性与更强的严格强拟凸性之间的区别，后者仍能保证2-阶微分决定性。

提出的方法

• 通过涉及z₁,…,z₄和w₁,…,w₅的五个实二次定义方程，定义ℂ⁹中余维5的实解析子流形M。
• 将定义函数Pi表示为二次型，并关联其对应的Hermite矩阵Ai，验证其线性无关性及Tumanov的非退化性条件。
• 构造保持M定义方程的全纯向量场X、Y、Z、U，以生成在原点处的无穷小CR自同构代数。
• 通过定义函数Pi之间的恒等式及其在向量场作用下的行为，构造一个新的全纯向量场T，其系数为三次齐次多项式。
• 通过验证T保持M的定义方程，证明T属于hol(M,0)，即在原点处实解析无穷小CR自同构的芽空间。
• 由此得出结论：T的2-阶微分与零向量场（即恒等映射）相同，但T ≠ 0，因此违反了2-阶微分决定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 CR自同构的2-阶微分决定性是否可推广至余维大于1的实解析一般子流形？
• RQ2 在高余维下，Levi生成、非退化的子流形是否可能拥有2-阶微分为平凡的非平凡无穷小CR自同构？
• RQ3 在缺乏严格强拟凸性时，Chern-Moser 2-阶微分定理在何种最小余维下会失效？
• RQ4 定义函数之间存在二次恒等式时，对阶微分决定性有何影响？

主要发现

• 构造了一个ℂ⁹中余维5的实解析一般子流形M，其为Levi生成，且Levi映射非退化。
• 该子流形满足Tumanov的非退化性条件，即存在实向量c，使得det(∑cjAj) ≠ 0。
• 显式构造了一个全纯向量场T ∈ hol(M,0)，其系数为三次齐次多项式，T非零但其2-阶微分与零向量场相同。
• 该向量场T对应一个非平凡的实解析无穷小CR自同构，其在原点处二阶行为平凡，因此违反了2-阶微分决定性。
• 该例子表明，在缺乏严格强拟凸性假设时，推广的2-阶微分决定定理在余维>1时不再成立。
• 结果确认了严格强拟凸性（如Tumanov近期结果所示）在高余维下2-阶微分决定性中具有决定性作用。