[论文解读] A Counterexample to the Generalized Linial-Nisan Conjecture

Alekseev, Yaroslav, Göös, Mika+5 more|arXiv (Cornell University)|Oct 27, 2011

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 18被引用 13

一句话总结

该论文通过构造一个深度为三的AC0电路，证明了广义Linial-Nisan（GLN）猜想不成立。该电路使用整数列表上的满射函数，能够以常数偏差区分均匀分布与几乎k-独立分布。反例表明，GLN方法无法实现BQP与PH之间的预言机分离，但也揭示了Linial-Mansour-Nisan的傅里叶逼近结果在低胖多项式方面无法进一步改进，并证明了相对于随机预言机，Π²_p 几乎必然不属于P^NP。

ABSTRACT

Aaronson (STOC 2010) conjectured that almost k-wise independence fools constant-depth circuits; he called this the generalised Linial-Nisan conjecture. Aaronson himself later found a counterexample for depth-3 circuits. We give here an improved counterexample for depth-2 circuits (DNFs). This shows, for instance, that Bazzi’s celebrated result (k-wise independence fools DNFs) cannot be generalised in a natural way. We also propose a way to circumvent our counterexample: We define a new notion of pseudorandomness called local couplings and show that it fools DNFs and even decision lists.

研究动机与目标

• 推翻广义Linial-Nisan（GLN）猜想，该猜想曾认为几乎k-独立分布与均匀分布无法被常数深度电路区分。
• 证明GLN猜想无法用于证明BQP与PH之间存在预言机分离。
• 表明Linial-Mansour-Nisan关于AC0函数逼近的结论无法通过要求逼近多项式为低胖多项式而进一步加强。
• 建立相对于随机预言机，Π²_p 几乎必然不属于P^NP，从而推进了PH相对于随机预言机是否无限这一长期悬而未决的开放问题。

提出的方法

• 构造一个布尔函数fSurj，用于判断来自[M]的N个整数列表是否在[M]上是满射的，通过二进制编码转化为布尔问题。
• 使用深度为三的AC0电路计算fSurj，通过在输入列表上交替使用量词来表达全局性质。
• 设计一个n比特字符串上的几乎k-独立分布，其在统计上接近均匀分布，但可被fSurj电路以常数偏差区分。
• 通过随机输入的像集大小分布的概率分析，比较在均匀分布与几乎k-独立分布下的期望值。
• 应用柯西-施瓦茨不等式及阶乘衰减的界，将电路的偏差与逼近多项式的胖度和次数联系起来。
• 利用GLN猜想与低胖夹逼多项式之间的对偶性，证明不存在低胖、低次多项式能在L²范数下逼近fSurj。

实验结果

研究问题

• RQ1 考虑到该猜想曾被认为可导致BQP与PH之间预言机分离，广义Linial-Nisan猜想是否可能对深度为三的AC0电路成立？
• RQ2 能否构造一个AC0可计算的函数，其平均块敏感度很高，从而与Parity等函数的直觉相悖？
• RQ3 Linial-Mansour-Nisan关于AC0函数低次多项式逼近的结果，是否可加强为要求逼近多项式为低胖多项式？
• RQ4 GLN猜想的反例是否意味着PH相对于随机预言机几乎必然无限？
• RQ5 是否存在一个AC0中的函数可被低次多项式逼近，但无法被低胖、低次多项式逼近？

主要发现

• GLN猜想对深度为三的AC0电路不成立：存在一个计算整数列表满射性的具体电路，能够以常数偏差区分均匀分布与e^O(k/n)-几乎k-独立分布。
• 该反例表明，相对于随机预言机，Π²_p 几乎必然不属于P^NP，这是首次在PH相对于随机预言机是否无限的问题上取得非平凡进展。
• 存在一个由深度为三的AC0电路计算的布尔函数fSurj，使得任何L²-逼近多项式p必须满足deg(p) × fat(p) = Ω(n / log²n)，表明低胖逼近是不足的。
• Linial-Mansour-Nisan关于AC0函数低次多项式逼近的结果无法在胖度方面进一步改进：没有任何此类函数能被低次、低胖多项式良好逼近。
• fSurj的平均块敏感度为Ω(n / log n)，表明AC0函数可表现出通常与AC0之外的函数（如Parity）相关的块敏感度行为。
• 该结果意味着，原始GLN猜想在更高深度下不成立，并不否定其在深度为二电路中成立的可能性，因此仍保留通过深度为二的GLN猜想证明BQP不在AM中的可能性。