[论文解读] A counterexample to the weak density of smooth maps between manifolds in Sobolev spaces

Fabrice Béthuel|arXiv (Cornell University)|Jan 8, 2014

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 30被引用 10

一句话总结

本文构造了一个反例，表明从维度至少为4的流形M到2-球面S²的光滑映射在Sobolev空间W^{1,3}(M, S²)中并非序列弱稠密，尽管π₃(S²) = ℤ非平凡。该结果依赖于分支输运理论与Hopf纤维丛，展示了即使强逼近失败时弱逼近也失败，挑战了几何分析中的既有假设。

ABSTRACT

The present paper presents a counterexample to the sequentially weak density of smooth maps between two manifolds $M$ and $N$ in the Sobolev space $W^{1, p} (M, N)$, in the case $p$ is an integer. It has been shown that, if $p<\\dim M $ is not an integer and the $[p]$-th homotopy group $\\pi_{[p]}(N)$ of $N$ is not trivial, $[p]$ denoting the largest integer less then $p$, then smooth maps are not sequentially weakly dense in $W^{1, p} (M, N)$ for the strong convergence. On the other, in the case $p< \\dim M$ is an integer, examples have been provided where smooth maps are actually sequentially weakly dense in $W^{1, p} (M, N)$ with $\\pi_{p}(N)\ ot = 0$. This is the case for instance for $M= \\mathbb B^m$, the standard ball in $\\mathbb R^m$, and $N=\\mathbb S^p$ the standard sphere of dimension $p$, for which $\\pi_{p}(N) =\\mathbb Z$. The main result of this paper shows however that such a property does not holds for arbitrary manifolds $N$ and integers $p$.Our counterexample deals with the case $p=3$, $\\dim M\\geq 4$ and $N=\\mathbb S^2$, for which the homotopy group $\\pi_3(\\mathbb S^2)=\\mathbb Z$ is related to the Hopf fibration.

研究动机与目标

• 解决关于当p为整数且π_{[p]}(N) ≠ 0时，光滑映射在W^{1,p}(M,N)中是否序列弱稠密的开放问题。
• 在临界情形p = 3、dim M ≥ 4、N = S²（其中π₃(S²) = ℤ）下构造一个具体反例。
• 证明即使强逼近失败，弱逼近仍会失败，挑战Sobolev映射理论中既有的预期。
• 建立与临界指数范围内分支输运和灌溉理论的联系。
• 作为副产品，解决S²-取值Sobolev映射的S³-提升问题。

提出的方法

• 利用Hopf纤维丛构造一个属于W^{1,3}(M, S²)的奇异映射，该映射无法通过光滑映射弱逼近。
• 运用Hopf不变量与拓扑度理论，证明该奇异映射的同伦类无法被弱逼近。
• 应用分支输运理论中的技术，特别是临界指数α = αₘ，以控制最小网络的能量。
• 通过缩放论证和在 dyadic 立方体上的迭代，建立网络最小α-能量的下界。
• 利用α-能量的缩放性质与次可加性，推导出归一化能量的对数下界。
• 利用Kirchhoff定律与基于图的最小能量模型，刻画目标流形中奇点的结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 当p为整数且π_{[p]}(N) ≠ 0时，W^{1,p}(M,N)中光滑映射的序列弱稠密性是否必然成立？
• RQ2 是否能通过光滑映射弱逼近W^{1,3}(M,S²)中具有非平凡Hopf不变量的映射？
• RQ3 分支输运理论在Sobolev映射弱逼近问题中扮演何种角色？
• RQ4 分支输运中的临界指数αₘ是否在Sobolev映射空间中导致非平凡障碍？
• RQ5 能否利用所构造的反例解决S²-取值Sobolev映射的S³-提升问题？

主要发现

• 在dim M ≥ 4的W^{1,3}(M, S²)中构造出反例，表明光滑映射并非序列弱稠密。
• 该奇异映射源于Hopf纤维丛，具有非平凡的Hopf不变量，因而无法被光滑映射弱逼近。
• 在临界情形α = αₘ下，网络的最小α-能量随点数对数增长，暗示非紧性。
• 归一化α-能量Λ^{m,α}_norm(k)满足不等式Λ^{m,α}_norm(k) ≥ C q^{-m} C^α_q ⌊log k / log q⌋，其中k ≥ 1且q = 5。
• 该结果意味着S²-取值映射在W^{1,3}中的S³-提升问题不能总通过光滑提升的弱极限解决。
• 即使π₃(S²) = ℤ非平凡，弱逼近仍会失败，表明当p为整数时，π_{[p]}(N) ≠ 0并非弱稠密性的充分条件。