[论文解读] A coupled discontinuous Galerkin-Finite Volume framework for solving gas dynamics over embedded geometries

Vincenzo Gulizzi, Ann Almgren+1 more|arXiv (Cornell University)|May 29, 2021

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics参考文献 90被引用 15

一句话总结

本文提出了一种新颖的 hp-自适应网格加密框架，通过在嵌入式笛卡尔网格上耦合高阶不连续伽辽金（dG）与激波捕获有限体积（FV）格式，实现对无粘气体动力学问题的高精度求解与鲁棒的激波特征解析。通过采用基于水平集的几何表示方法和高阶积分方法处理曲面切割单元，该方法在光滑区域实现高阶精度，并在最细的 AMR 层级通过 FV 格式动态追踪激波，展示了在二维和三维测试案例中最优的收敛性与精确的间断解析能力。

ABSTRACT

We present a computational framework for solving the equations of inviscid gas dynamics using structured grids with embedded geometries. The novelty of the proposed approach is the use of high-order discontinuous Galerkin (dG) schemes and a shock-capturing Finite Volume (FV) scheme coupled via an $hp$ adaptive mesh refinement ($hp$-AMR) strategy that offers high-order accurate resolution of the embedded geometries. The $hp$-AMR strategy is based on a multi-level block-structured domain partition in which each level is represented by block-structured Cartesian grids and the embedded geometry is represented implicitly by a level set function. The intersection of the embedded geometry with the grids produces the implicitly-defined mesh that consists of a collection of regular rectangular cells plus a relatively small number of irregular curved elements in the vicinity of the embedded boundaries. High-order quadrature rules for implicitly-defined domains enable high-order accuracy resolution of the curved elements with a cell-merging strategy to address the small-cell problem. The $hp$-AMR algorithm treats the system with a second-order finite volume scheme at the finest level to dynamically track the evolution of solution discontinuities while using dG schemes at coarser levels to provide high-order accuracy in smooth regions of the flow. On the dG levels, the methodology supports different orders of basis functions on different levels. The space-discretized governing equations are then advanced explicitly in time using high-order Runge-Kutta algorithms. Numerical tests are presented for two-dimensional and three-dimensional problems involving an ideal gas. The results are compared with both analytical solutions and experimental observations and demonstrate that the framework provides high-order accuracy for smooth flows and accurately captures solution discontinuities.

研究动机与目标

• 开发一种用于在复杂几何体中嵌入边界条件下求解可压缩气体动力学问题的高阶、自适应数值框架。
• 通过单元合并策略与隐式定义网格上的高阶积分方法，解决嵌入边界方法中的小单元问题。
• 在较粗的 AMR 层级采用高阶 dG 格式处理光滑流动区域，而在最细 AMR 层级采用激波捕获 FV 格式，以实现鲁棒的间断解析。
• 实现动态 hp-自适应加密，通过根据解的特征选择合适的阶数与分辨率，优化精度与计算效率。

提出的方法

• 该方法采用基于块结构的多级笛卡尔网格层次，嵌入边界通过水平集函数表示。
• 靠近边界的不规则曲面单元通过高阶积分规则与单元合并策略处理，以缓解小单元问题。
• 在较粗的 AMR 层级应用高阶 dG 格式，各层级可采用可变的多项式阶数；最细层级则采用二阶 FV 格式以实现激波捕获。
• 框架采用 hp-AMR，基于解的梯度与间断性指标进行动态加密，使用密度与激波传感器的阈值进行判断。
• 时间推进采用高阶 TVD Runge-Kutta 格式，确保显式时间推进过程中的稳定性和精度。
• 实现基于 AMReX 框架的并行块结构 AMR，支持动态网格生成与负载均衡。

实验结果

研究问题

• RQ1 耦合 dG-FV 方法结合 hp-AMR 是否能在光滑区域实现高阶精度，同时在嵌入几何问题中鲁棒地解析激波？
• RQ2 单元合并与高阶积分在具有曲面切割单元的嵌入边界方法中，是否能有效缓解小单元问题？
• RQ3 动态 hp-自适应加密在复杂二维与三维气体动力学模拟中，能否在精度与计算成本之间实现良好平衡？
• RQ4 与解析解和实验基准相比，该方法在捕捉复杂激波特构（如马赫反射与三重点）方面表现如何？

主要发现

• 在光滑流动问题中，如超音速涡旋测试，该方法实现了最优收敛率，验证了 dG 离散化的高阶精度。
• 在激波主导的流动中，如从凸-凹壁面反射的激波，框架能准确捕捉马赫杆与三重点的形成，数值结果与实验数据高度吻合。
• 对于马赫数 M = 1.19、1.30 与 1.41 的情况，三重点位置的计算结果与实验测量值一致，验证了其激波特征捕获能力。
• 采用在最细层级使用 FV 的动态 hp-AMR 策略，可确保激波始终获得足够分辨率，同时光滑区域保持高阶精度。
• 该框架成功处理了具有复杂切割单元构型的三维嵌入几何体，在静态与动态 AMR 设置下均表现出良好的鲁棒性。
• 该方法支持在 AMR 各层级采用可变多项式阶数，能够高效解析多尺度流动特征，且不牺牲精度。