[论文解读] A crack induced by a thin rigid inclusion partly debonded from the matrix

Y. A. Antipov, S. M. Mkhitaryan|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2016

Numerical methods in engineering参考文献 4被引用 7

一句话总结

本文为部分脱粘的薄刚性夹杂周围应力场提供了闭式解，其中裂纹穿透夹杂上表面。通过将控制奇异积分方程转化为具有切博塔列夫-克雷波夫矩阵系数的有限区间上的向量黎曼-希尔伯特问题，作者推导出精确解，并揭示当裂纹长度与夹杂长度相等时存在不稳定性，表现为更强的−3/4阶奇异性，且当裂纹接近夹杂端部时应力强度因子无界增长。

ABSTRACT

The interaction of a thin rigid inclusion with a finite crack is studied. Two plane problems of elasticity are considered. The first one concerns the case when the upper side of the inclusion is completely debonded from the matrix, and the crack penetrates into the medium. In the second model, the upper side of the inclusion is partly separated from the matrix, that is the crack length $2a$ is less than $2b$, the inclusion length. It is shown that both problems are governed by a singular integral equation of the same structure. Derivation of the closed-form solution of this integral equation is the main result of the paper. The solution is found by solving the associated vector Riemann-Hilbert problem with the Chebotarev-Khrapkov matrix coefficient. A feature of the method proposed is that the vector Riemann-Hilbert problem is set on a finite segment, while the original Khrapkov method of matrix factorization is developed for a closed contour. In the case, when the crack and inclusion lengths are the same, the solution is derived by passing to the limit $b/a o 1$. It is demonstrated that the limiting case $a=b$ is unstable, and when $a<b></b>

研究动机与目标

• 分析二维弹性介质中部分脱粘于基体的薄刚性夹杂周围的应力集中与裂纹扩展行为。
• 建立并求解两类不同的平面弹性问题：一类为裂纹穿透夹杂（a > b），另一类为裂纹较短（a < b）。
• 通过求解向量黎曼-希尔伯特问题的创新方法，为控制两类问题的奇异积分方程推导闭式解。
• 研究极限情况a = b，与a ≠ b的情况比较，确定其稳定性与奇异性行为。
• 计算应力强度因子（SIFs）与接触应力，并通过渐近分析与数值验证确认结果。

提出的方法

• 将问题表述为复平面上双调和算子的不连续边值问题。
• 将弹性问题约化为奇异积分方程，其核由格林函数及夹杂与裂纹的几何构型决定。
• 通过使用切博塔列夫-克雷波夫矩阵系数，将奇异积分方程转化为有限区间[−1, 1]上的向量黎曼-希尔伯茨问题。
• 提出一种求解有限区间上向量黎曼-希尔伯茨问题的新方法，该方法与经典克雷波夫方法不同，后者假设闭合轮廓。
• 利用涉及勒让德多项式与超几何函数的积分恒等式，计算所得积分并推导出闭式解。
• 通过检查平衡条件及与文献中a = b极限情况的已知结果的一致性，验证解的正确性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在部分脱粘裂纹存在的情况下，刚性夹杂周围的应力场分布如何？当裂纹长度短于或长于夹杂时，其行为有何不同？
• RQ2 当裂纹尖端趋近夹杂端部时，特别是a → b时，应力强度因子（SIFs）的行为如何？
• RQ3 a = b的情况是否稳定？其奇异性类型是否与a ≠ b的情况不同？
• RQ4 即使核结构复杂，能否为控制裂纹-夹杂相互作用的奇异积分方程推导出闭式解？
• RQ5 在部分脱粘构型下，夹杂与基体界面处的接触应力与位移场行为如何？

主要发现

• 通过求解具有切博塔列夫-克雷波夫矩阵系数的有限区间上的向量黎曼-希尔伯茨问题，成功推导出奇异积分方程的闭式解。
• 在a < b的情况下，裂纹与夹杂端部的牵引分量表现出平方根奇异性，表明为标准断裂行为。
• 在极限情况a = b时，奇异性强度增强至−3/4阶，表明其应力集中程度高于a ≠ b的情况。
• 当a → b⁻时，I型与II型应力强度因子（SIFs）的绝对值无界增长，表明a = b构型存在不稳定性。
• 当a < b且a → b时，裂纹倾向于加速向夹杂端部移动，表明其具有动态趋势，即向基体内部穿透以避免不稳定状态。
• a = b的极限解与文献中已知的闭式解一致，验证了所提方法的有效性。