[论文解读] A Cramér--Wold device for infinite divisibility of $\mathbb{Z}^d$-valued distributions

David Berger, Alexander Lindner|arXiv (Cornell University)|Nov 17, 2020

Probability and Risk Models参考文献 16被引用 4

一句话总结

本文为取值于 $\mathbb{Z}^d$ 的分布建立了无限可分性的 Cramér–Wold 定理，证明了此类分布无限可分当且仅当其所有线性投影 $a^T X$ 对所有 $a \in \mathbb{R}^d$ 均无限可分，或等价地，对所有 $a \in \mathbb{N}_0^d$ 成立。其关键技术工具是：对于取值于 $\mathbb{Z}^d$ 的分布的非零特征函数，采用带符号 Lévy 测度的 Lévy–Khintchine 表示。

ABSTRACT

We show that a Cramér--Wold device holds for infinite divisibility of $\mathbb{Z}^d$-valued distributions, i.e. that the distribution of a $\mathbb{Z}^d$-valued random vector $X$ is infinitely divisible if and only if $\mathcal{L}(a^T X)$ is infinitely divisible for all $a\in \mathbb{R}^d$, and that this in turn is equivalent to infinite divisibility of $\mathcal{L}(a^T X)$ for all $a\in \mathbb{N}_0^d$. A key tool for proving this is a Lévy--Khintchine type representation with a signed Lévy measure for the characteristic function of a $\mathbb{Z}^d$-valued distribution, provided the characteristic function is zero-free.

研究动机与目标

• 为 $\mathbb{Z}^d$-取值分布的无限可分性建立 Cramér–Wold 定理。
• 通过限制到整数值分布，解决多变量设置下无限可分性一般 Cramér–Wold 定理的缺失问题。
• 通过系数属于 $\mathbb{R}^d$ 和 $\mathbb{N}_0^d$ 的线性投影对无限可分性进行表征，确保投影保持整数值。
• 为取值于 $\mathbb{Z}^d$ 的分布的非零特征函数，建立带符号 Lévy 测度的 Lévy–Khintchine 类型表示。
• 证明在此表示中，若所有一维投影均无限可分，则带符号 Lévy 测度必为非负（即为真正的 Lévy 测度），从而推出完整分布的无限可分性。

提出的方法

• 在特征函数非零的假设下，利用其在 $\mathbb{Z}^d \setminus \{0\}$ 上有紧支集的带符号有限测度，推导出 $\mathbb{Z}^d$-取值分布特征函数的 Lévy–Khintchine 类型表示。
• 利用特征函数在每个坐标上具有 $2\pi$-周期性的事实，将局部区域的非零性扩展至整个 $\mathbb{R}^d$。
• 应用 Lévy–Khintchine 表示中带符号 Lévy 测度的已知唯一性，证明若所有一维投影均无限可分，则带符号测度必为非负。
• 利用方向向量 $a \in \mathbb{R}^d$ 的分量在 $\mathbb{Q}$ 上的线性无关性，确保其在投影下的像测度 $\nu_a$ 能够完整捕获原始带符号测度 $\nu$ 的支集结构。
• 利用分布的弱收敛性以及无限可分分布类在弱收敛下的闭包性质，将无限可分性从方向的稠密集推广至 $\mathbb{R}^d$ 中的所有方向。
• 利用格分布的结构以及无限可分性在仿射变换下的不变性，将结果推广至平移格 $v + A\mathbb{Z}^d$ 上的分布。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于取值于 $\mathbb{Z}^d$ 的分布，是否存在无限可分性的 Cramér–Wold 定理，即当且仅当所有线性投影 $a^T X$ 对所有 $a \in \mathbb{R}^d$ 均无限可分时，完整分布是否无限可分？
• RQ2 是否可将 Cramér–Wold 条件限制在 $a \in \mathbb{N}_0^d$ 而不脱离整数值分布类，且仍能表征无限可分性？
• RQ3 在何种条件下，取值于 $\mathbb{Z}^d$ 的分布的特征函数的 Lévy–Khintchine 表示中，带符号 Lévy 测度能推出该测度实为非负 Lévy 测度？
• RQ4 是否可通过在稠密方向集上投影的无限可分性来建立特征函数的非零性，以及这与周期性及全局非零性的关系如何？
• RQ5 所有投影 $a^T X$ 对 $a \in \mathbb{N}_0^d$ 均无限可分，是否能推出完整 $\mathbb{Z}^d$-取值分布的无限可分性？

主要发现

• 取值于 $\mathbb{Z}^d$ 的分布无限可分当且仅当其所有线性投影 $a^T X$ 对所有 $a \in \mathbb{R}^d$ 均无限可分，从而为该类分布建立了完整的 Cramér–Wold 定理。
• 该条件可限制于 $a \in \mathbb{N}_0^d$，确保投影保持 $\mathbb{N}_0$-取值，且完整分布的无限可分性仍等价于这些投影的无限可分性。
• 若特征函数非零，则取值于 $\mathbb{Z}^d$ 的分布的特征函数存在带符号 Lévy 测度的 Lévy–Khintchine 类型表示。
• 若所有一维投影 $a^T X$ 均无限可分且特征函数非零，则带符号 Lévy 测度必为非负，从而推出原始分布的无限可分性。
• 通过仿射不变性，该结果可推广至仿射格 $v + A\mathbb{Z}^d$ 上的分布，且 Cramér–Wold 等价性得以保持。
• 证明依赖于无限可分分布类在弱收敛下的闭包性质，以及 $\mathbb{Z}^d$-格上特征函数的周期性，从而实现非零性的全局传播。