[论文解读] A criterion for irreducibility of parabolic baby Verma modules of reductive Lie algebras

Yiyang Li, Bin Shu+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 19, 2014

Advanced Algebra and Geometry参考文献 6被引用 3

一句话总结

本文在特征为素数 $p$ 的代数闭域上，为单李代数类型 $A_n$、$B_n$、$C_n$ 和 $D_n$ 的抛物型婴儿 Verma 模的不可约性建立了充分条件，当 $p$-特征 $χ$ 为标准 Levi 型时。关键结果表明，当 $p$-正则权 $λ_0$ 位于特定仿射单形内时，此类模是不可约的，部分回答了 Friedlander 与 Parshall 关于从抛物子代数诱导模不可约性的长期开放问题。

ABSTRACT

Let $G$ be a connected, reductive algebraic group over an algebraically closed field $k$ of prime characteristic $p$ and $\mathfrak{g}=Lie(G)$. In this paper, we study representations of $\mathfrak{g}$ with a $p$-character $χ$ of standard Levi form. When $\mathfrak{g}$ is of type $A_n, B_n, C_n$ or $D_n$, a sufficient condition for the irreducibility of standard parabolic baby Verma $\mathfrak{g}$-modules is obtained. This partially answers a question raised by Friedlander and Parshall in [Friedlander E. M. and Parshall B. J., Deformations of Lie algebra representations, Amer. J. Math. 112 (1990), 375-395]. Moreover, as an application, in the special case that $\mathfrak{g}$ is of type $A_n$ or $B_n$, and $χ$ lies in the sub-regular nilpotent orbit, we recover a result of Jantzen in [Jantzen J. C., Subregular nilpotent representations of $sl_n$ and $so_{2n+1}$, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 126 (1999), 223-257].

研究动机与目标

• 解决 Friedlander 与 Parshall 长期提出的关于从抛物子代数诱导模不可约性的必要与充分条件的开放问题。
• 研究具有标准 Levi 型 $p$-特征的半单李代数的表示，特别是在模表示理论背景下的情形。
• 为类型 $A_n$、$B_n$、$C_n$ 和 $D_n$ 的抛物型婴儿 Verma 模提供不可约性的充分条件。
• 恢复并推广 Jantzen 关于类型 $A_n$ 和 $B_n$ 中次正则幂零轨道的结果。

提出的方法

• 作者将抛物型婴儿 Verma 模定义为从 Levi 子代数 $\mathfrak{g}_J$ 的不可约表示诱导而来，且在幂零根代数 $\mathfrak{u}_J^+$ 上作用平凡。
• 他们利用分解 $\lambda = \lambda_0 + p\lambda_1$，其中 $\lambda_0 \in X_1'(T)$，即 $X(T)/pX(T)$ 的代表元集，来分析位于第一主仿射单形 $C_0$ 内的权。
• 证明依赖于仿射 Weyl 群的作用以及使用点作用（dot action）来关联同一块中的权。
• 他们应用了支撑簇理论以及 $U_\chi(\mathfrak{g})$-模结构的结果来分析不可约性。
• 对于类型 $A_n$ 和 $B_n$，他们验证了当 $\lambda_0 \in C_0$ 且 $\lambda_0 + \rho$ 满足根和的某些有界条件时，诱导模是不可约的。
• 他们通过显式计算 Weyl 群轨道和权的平移，验证了在给定条件下诱导模保持不可约。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $p$-特征 $\chi$ 为标准 Levi 型时，抛物型婴儿 Verma 模在何种条件下是不可约的？
• RQ2 是否可以在类型 $A_n$、$B_n$、$C_n$ 和 $D_n$ 中建立此类模不可约性的充分条件？
• RQ3 当 $\lambda_0$ 位于第一主仿射单形 $C_0$ 内且根和有界时，是否能确保诱导模的不可约性？
• RQ4 该结果是否能作为特例恢复 Jantzen 关于 $\mathfrak{sl}_n$ 和 $\mathfrak{so}_{2n+1}$ 中次正则幂零轨道的定理？
• RQ5 在 $p$-正则权的块中，仿射 Weyl 群作用下不可约性是否保持？

主要发现

• 对于类型 $A_n$、$B_n$、$C_n$ 和 $D_n$ 的半单李代数，当 $p$-正则权 $\lambda_0$ 位于第一主仿射单形 $C_0$ 内且对所有正根 $\alpha$ 满足 $0 \leq \langle \lambda_0 + \rho, \alpha^\vee \rangle < p$ 时，抛物型婴儿 Verma 模的不可约性得到了充分条件的建立。
• 在类型 $A_n$ 中，若 $\lambda_0 + \rho = (r_1, \dots, r_n)$ 且满足 $0 \leq \sum r_i \leq p$，则诱导模 $\widehat{\mathcal{Z}}_P(\lambda)$ 是不可约的，且模的维数为 $r_{n-i} p^{N-1}$，与 [6, 定理 2.6] 中已知结果一致。
• 在类型 $B_n$ 中，若 $\lambda_1 + \rho = (r_1, \dots, r_n)$ 且满足 $0 \leq \sum_{i=1}^{n-1} 2r_i + r_n \leq p$，则诱导模 $\widehat{\mathcal{Z}}_P(\lambda)$ 是不可约的，其维数为：当 $1 \leq i \leq n-1$ 时为 $r_i p^{N-1}$，当 $n+1 \leq i \leq 2n-1$ 时为 $r_{2n-i} p^{N-1}$，与 [6, 推论 3.13] 一致。
• 作者在 $\chi$ 位于次正则幂零轨道且 $\lambda_0$ 满足单形条件时，作为特例恢复了 Jantzen 关于 $\mathfrak{sl}_n$ 和 $\mathfrak{so}_{2n+1}$ 中次正则幂零轨道的结果。
• 证明确认，只要 $\lambda_0$ 位于 $C_0$ 内且权为 $p$-正则，则诱导模在仿射 Weyl 群作用下保持不可约。
• 要求 $\lambda_0$ 位于 $C_0$ 确保了所有 Weyl 群的平移 $\lambda_i$ 也位于 $C_0$ 内，这对通过块结构实现不可约性至关重要。