[论文解读] A criterion for quadraticity of a representation of the fundamental group of an algebraic variety

Louis-Clément Lefèvre|arXiv (Cornell University)|Sep 9, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 27被引用 4

一句话总结

本文建立了光滑复拟射影代数簇的基本群表示在表示簇中产生二次奇点的判别准则。通过利用Hodge理论以及Goldman和Millson的工作，作者证明：若该簇的有限 étale Galois 覆盖存在一个具有平凡第一贝蒂数的光滑紧化，则该表示由齐次二次方程解析定义。

ABSTRACT

Let $\\Gamma$ be a finitely presented group and $G$ a linear algebraic group over $\\mathbb{R}$. A representation $\ ho:\\Gamma\ ightarrow G(\\mathbb{R})$ can be seen as an $\\mathbb{R}$-point of the representation variety $\\mathfrak{R}(\\Gamma, G)$. It is known from the work of Goldman and Millson that if $\\Gamma$ is the fundamental group of a compact K{\\"a}hler manifold and $\ ho$ has image contained in a compact subgroup then $\ ho$ is analytically defined by homogeneous quadratic equations in $\\mathfrak{R}(\\Gamma, G)$. When $X$ is a smooth complex algebraic variety, we study a certain criterion under which this same conclusion holds.

研究动机与目标

• 将Kähler流形上Goldman-Millson定理关于二次奇点的结果推广至光滑复拟射影簇。
• 识别有限 étale 覆盖的几何条件，以确保表示簇中出现二次奇点。
• 利用紧化后的第一贝蒂数，为有限单值表示提供二次性的判别准则。
• 将关于超平面排列补集及其他例子的已知结果推广至更广泛的簇类。
• 探索新例子，包括复环面族与Hermitian对称空间，其中该判别准则适用。

提出的方法

• 利用表示簇 $\mathfrak{R}(\Gamma, G)$，其参数化从基本群 $\Gamma$ 到实线性代数群 $G$ 的同态。
• 应用Goldman-Millson关于解析芽与加权齐次奇点的理论，研究在表示 $\rho$ 处的局部结构。
• 运用Hodge理论及Deligne和Morgan的结果，分析拟射影簇的上同调性质。
• 施加条件：有限 étale Galois 覆盖 $Y \to X$ 允许一个光滑紧化 $\overline{Y}$，满足 $b_1(\overline{Y}) = 0$。
• 利用表示的刚性与相对Albanese构造，证明 $\rho$ 处的解析芽为二次奇点。
• 应用Kazhdan的性质 (T) 与Baily-Borel紧化，验证Hermitian对称空间的贝蒂数条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种几何条件下，光滑复拟射影簇的有限单值表示会在其表示簇中产生二次奇点？
• RQ2 Goldman-Millson关于Kähler流形的判别准则如何推广至非紧致代数簇？
• RQ3 光滑紧化后的第一贝蒂数在决定表示奇点类型中起何种作用？
• RQ4 该判别准则是否适用于复环面族与Hermitian局部对称空间？
• RQ5 在紧化上 $b_1$ 的消失在多大程度上意味着表示簇中的二次行为？

主要发现

• 若 $X$ 为光滑复拟射影簇，基本群为 $\Gamma$，且 $\rho: \Gamma \to G(\mathbb{R})$ 为有限单值表示，使得对应的有限 étale Galois 覆盖 $Y \to X$ 允许一个光滑紧化 $\overline{Y}$ 满足 $b_1(\overline{Y}) = 0$，则 $\mathfrak{R}(\Gamma, G)$ 中 $\rho$ 处的解析芽为二次奇点。
• 该结果将Goldman-Millson定理由紧致Kähler流形推广至满足紧化上 $b_1 = 0$ 条件的光滑拟射影簇。
• 对于平凡表示，该判别准则退化为已知情形：即超平面排列补集或满足 $b_1(\overline{X}) = 0$ 的曲线。
• 当相对Albanese簇无非平凡几乎常数因子时，该判别准则适用于 $X$ 上的复环面族。
• 对于非紧类型Hermitian对称空间 $\Omega$ 的商 $X = \Gamma \backslash \Omega$，其中 $\Gamma$ 为秩 $>2$ 的无挠子群，该定理成立，因为此类 $X$ 满足紧化上 $b_1 = 0$ 的条件。
• 证明依赖于性质 (T) 蕴含对有限指数子群 $\Gamma'$ 有 $b_1(\Gamma') = 0$，且 $\pi_1(\overline{Y})^{\text{ab}}$ 为有限群，故 $b_1(\overline{Y}) = 0$。