[论文解读] A critical look at stochastic inflation

Lucas Pinol, Yuichiro Tada+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 26, 2018

Stochastic processes and financial applications被引用 1

一句话总结

本文批判性地考察了随机暴胀框架，表明一般协变性在场重定义下仅在斯特拉托诺维奇规定下得以保持，尽管这会引入与参考系相关的伪象。本文推导了在阻尼极限下非线性σ模型中轻标量场的协变福克-普朗克方程，成功通过有效单场势能再现了某些两场模型的统计性质，并在双曲场空间几何的$λ\phi^4$理论中给出了明确结果。

ABSTRACT

The stochastic approach aims at describing the long-wavelength part of quantum fields during inflation by a classical stochastic theory. It is usually formulated in terms of Langevin equations, giving rise to a Fokker-Planck equation for the probability distribution function of the fields, and possibly their momenta. The link between these two descriptions is ambiguous in general, as it depends on an implicit discretisation procedure, the two prominent ones being the It\^o and Stratonovich prescriptions. Here we show that the requirement of general covariance under field redefinitions is verified only in the latter case, however at the expense of introducing spurious `frame' dependences. This feature disappears when there is only one source of stochasticity, like in slow-roll single-field inflation, but manifests itself when taking into account the full phase space, or in the presence of multiple fields. Despite these difficulties, we use physical arguments to write down a covariant Fokker-Planck equation that describes the diffusion of light scalar fields in non-linear sigma models in the overdamped limit. We apply it to test scalar fields in de Sitter space and show that some statistical properties of a class of two-field models with derivative interactions can be reproduced by using a correspondence with a single-field model endowed with an effective potential. We also present explicit results in a simple extension of the single-field $\lambda \phi^4$ theory to a hyperbolic field space geometry.

研究动机与目标

• 澄清在暴胀宇宙学中将随机朗之万方程与福克-普朗克方程关联时的模糊性，特别是关于伊藤与斯特拉托诺维奇规定的差异。
• 研究随机方法在场重定义下与一般协变性的相容性，特别是在多场或完整相空间情形下。
• 推导在阻尼极限下非线性σ模型中轻标量场的协变福克-普朗克方程。
• 证明具有微分相互作用的某些两场模型的统计性质可通过具有修正势能的有效单场模型再现。
• 为具有双曲场空间几何的$λ\phi^4$理论提供明确结果，展示该框架的适用性。

提出的方法

• 使用朗之万方程制定随机暴胀方法，并在伊藤与斯特拉托诺维奇规定下推导相应的福克-普朗克方程。
• 分析随机形式在场重定义下的协变性，表明仅斯特拉托诺维奇规定能保持一般协变性。
• 识别出斯特拉托诺维奇方法中引入的与参考系相关的伪象，这些伪象在单场慢滚情形下消失，但在多场或完整相空间处理中显现。
• 利用几何与物理一致性条件，为非线性σ模型中轻标量场在阻尼极限下构造协变福克-普朗克方程。
• 将推导出的形式化应用于德西特空间和具有微分相互作用的模型，表明其等价于具有修正势能的有效单场理论。
• 在具有双曲场空间几何的$λ\phi^4$模型中进行显式计算，以验证该框架。

实验结果

研究问题

• RQ1 随机暴胀形式在场重定义下是否保持一般协变性？若成立，是在何种规定下？
• RQ2 斯特拉托诺维奇规定在多场或相空间形式中引入的参考系依赖性具有何种物理后果？
• RQ3 能否通过具有修正势能的有效单场描述再现具有微分相互作用的两场模型的统计性质？
• RQ4 如何在阻尼极限下为非线性σ模型中的标量场一致地推导协变福克-普朗克方程？
• RQ5 该形式化对具有弯曲场空间的模型（如双曲$λ\phi^4$理论）有何影响？

主要发现

• 斯特拉托诺维奇规定在场重定义下保持了一般协变性，但引入了在单场慢滚情形下不存在的虚假参考系依赖性。
• 当仅存在一个随机源时（如慢滚单场暴胀），这种参考系依赖性会消失。
• 为非线性σ模型中轻标量场在阻尼极限下推导出协变福克-普朗克方程，确保了几何一致性。
• 一类具有微分相互作用的两场模型的统计性质可通过具有修正势能的有效单场模型再现。
• 在双曲场空间上的$λ\phi^4$理论中获得了明确结果，展示了该框架在弯曲场空间几何中的可行性。