[论文解读] A CRT algorithm for constructing genus 2 curves over finite fields

Kirsten Eisentr, Kristin Lauter|ArXiv.org|May 15, 2004

Coding theory and cryptography参考文献 28被引用 41

一句话总结

本文提出了一种基于中国剩余定理（CRT）的新算法，用于在有限域上构造具有指定雅可比簇点数的阿贝尔曲面，该方法利用小素数模下的伊久拉类多项式。通过在小素数模下计算这些多项式，并利用分母有界条件下的CRT进行重构，该方法高效地构造出由给定四次CM域复乘的阿贝尔曲面，为传统CM方法提供了一种实用的替代方案，并在具体示例中得到验证。

ABSTRACT

We present a new method for constructing genus 2 curves over a finite field with a given number of points on its Jacobian. This method has important applications in cryptography, where groups of prime order are used as the basis for discrete-log based cryptosystems. Our algorithm provides an alternative to the traditional CM method for constructing genus 2 curves. For a quartic CM field K with primitive CM type, we compute the Igusa class polynomials modulo p for certain small primes p and then use the Chinese remainder theorem (CRT) and a bound on the denominators to construct the class polynomials. We also provide an algorithm for determining endomorphism rings of ordinary Jacobians of genus 2 curves over finite fields, generalizing the work of Kohel for elliptic curves.

研究动机与目标

• 开发一种高效替代传统CM方法的算法，用于在有限域上构造具有已知雅可比簇点数的阿贝尔曲面。
• 通过在小素数模下求值并利用中国剩余定理重构，计算一个本原四次CM域的伊久拉类多项式。
• 解决阿贝尔曲面类多项式中的挑战，包括定义域、素数选择以及自同态环的计算。
• 将科赫尔（Kohel）对椭圆曲线的算法推广至有限域上普通阿贝尔曲面的自同态环计算。
• 提供一种实用方法，用于生成由给定四次域复乘且雅可比簇阶为素数的阿贝尔曲面，适用于密码学应用。

提出的方法

• 该算法通过枚举所有模p下对应于由给定四次CM域K复乘的阿贝尔曲面的伊久拉不变量三元组，计算模小素数的伊久拉类多项式。
• 利用中国剩余定理（CRT）从多个小素数模下的约化重构完整的伊久拉类多项式。
• 使用伊久拉类多项式系数分母的有界条件，确保CRT步骤中可精确重构。
• 该方法利用了在复数域上具有OK复乘的CM阿贝尔曲面对应于满足特定代数关系的伊久拉不变量这一事实。
• 通过检查关键元素δ = (π + π̄ + 6)/4在挠点（特别是4-挠点）上的作用，判断其是否为自同态，从而实现自同态环的计算。
• 通过验证π⁴ − 1在自同态代数中可被12整除，确认雅可比簇的自同态环为全整环OK。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过模算术与CRT高效计算本原四次CM域的伊久拉类多项式，从而避免高精度复乘计算？
• RQ2 在阿贝尔曲面情形下，CRT重构伊久拉类多项式成功所需的关于小素数p的必要条件是什么？
• RQ3 如何算法化地计算有限域上阿贝尔曲面雅可比簇的自同态环，推广科赫尔对椭圆曲线的方法？
• RQ4 在具有CM的阿贝尔曲面中，弗罗贝尼乌斯作用于挠点与自同态的整性之间存在何种关系？
• RQ5 能否使用该方法显式构造并验证由给定四次域复乘的阿贝尔曲面，其雅可比簇定义在有限域上？

主要发现

• 该算法成功计算出特定本原四次CM域K模43的伊久拉类多项式，得到H₁,₄₃(X) = X² + 30X + 32，H₂,₄₃(X) = X² + 42X + 10，H₃,₄₃(X) = X² + 18X + 28。
• 该方法识别出在F₄₃上具有K复乘的阿贝尔曲面恰好存在两个同构类，分别对应于伊久拉不变量(20,23,19)和(36,21,6)。
• 通过验证δ = (π + π̄ + 6)/4和(π⁴ − 1)/12在4-挠点上的作用为自同态，确认了雅可比簇的自同态环为全整环OK。
• 通过要求完整的12-挠点与4-挠点结构，该算法消除了具有更小自同态环的曲线，将67个候选减少至6个，再减少至2条有效曲线。
• 模43计算的类多项式与范瓦梅伦（van Wamelen）使用模形式计算出的高精度有理系数一致，验证了基于CRT的方法。
• 该方法为阿贝尔曲面提供了实用且高效的替代传统CM方法的途径，避免了对高精度模函数求值的需求。