[论文解读] A Cyclic Operad in the Category of Artin Stacks and Gravitational Correlators

Ivan Kausz|ArXiv.org|Feb 25, 2008

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用 3

一句话总结

本文通过构造一个新的模堆栈 $ωω_{0,2}$，在阿廷堆栈的范畴中构建了一个循环操作代数，该堆栈作为不存在的稳定两标记零亏格曲线模空间的替代品。通过进入同调范畴，作者得到了一个线性循环操作代数，该代数在猜想中控制光滑射影代数簇的上同调与引力量子上同调，且通过同调环中的代数恒等式，显式验证了已知的引力相关函数关系。

ABSTRACT

We define an Artin stack which may be considered as a substitute for the non-existing (or empty) moduli space of stable two-pointed curves of genus zero. We show that this Artin stack can be viewed as the first term of a cyclic operad in the category of stacks. Applying the homology functor we obtain a linear cyclic operad. We formulate conjectures which assert that cohomology of a smooth projective variety has the structure of an algebra over this homology operad and that gravitational quantum cohomology can naturally expressed in terms of this algebra. As a test for these conjectures we show how certain well-known relations between gravitational correlators can be deduced from them.

研究动机与目标

• 通过构造替代堆栈 $\widetilde{\mathcal{M}}_{0,2}$ 来解决稳定两标记零亏格曲线模空间不存在的问题。
• 通过在堆栈 $\widetilde{\mathcal{M}}_{0,n+1}$ 上定义循环操作代数结构，将标准操作代数 $A_*(\overline{M}_{0,n+1})$ 扩展至 $n=1$ 的情形。
• 猜想光滑射影代数簇的上同调在该扩展操作代数的同调上具有代数结构。
• 通过在扩展堆栈上引入新类 $\tilde{\psi}_i$，表明引力相关函数可自然地用该结构表达。

提出的方法

• 将 $\mathscr{W}$ 定义为参数化固定单标记曲线修改的零维阿廷堆栈。
• 构造 $\widetilde{\mathcal{M}}_{0,2} := \mathbf{B}\mathbb{G}_m \times \mathscr{W}$ 以及 $\widetilde{\mathcal{M}}_{0,n+1} := \overline{M}_{0,n+1} \times \mathscr{W}^{n+1}$（$n \geq 2$），从而在阿廷堆栈范畴中形成一个循环操作代数。
• 通过“zollstocks”（即具有线性对偶图和端点分量上标记点的两标记预稳定零亏格曲线）的粘合操作，证明 $\widetilde{\mathcal{M}}_{0,2}$ 具有半群结构。
• 进入同调范畴，得到线性循环操作代数 $(A_*(\widetilde{\mathcal{M}}_{0,n+1}))_{n \geq 1}$，其中 $A_*(\widetilde{\mathcal{M}}_{0,2}) \cong R[t_0]$ 且对 $n \geq 2$ 有 $A_*(\widetilde{\mathcal{M}}_{0,n+1}) \cong A_*(\overline{M}_{0,n+1}) \otimes R^{\otimes(n+1)}$，此处 $R$ 为 $\mathscr{W}$ 的相交环。
• 由 $\widetilde{\mathcal{M}}_{0,2}$ 的半群结构诱导出 $R[t_0]$ 上的非交换、非单位元乘积 $\odot$，并证明其存在基底元素 $t_0^{k_1} \odot \cdots \odot t_0^{k_r}$。
• 构造自然态射 $\widetilde{\operatorname{st}}: \overline{M}_{g,n}(V,\beta) \to \widetilde{\mathcal{M}}_{g,n}$，其为通常稳定化映射的提升，并将 $\tilde{\psi}_i$ 类定义为 $\widetilde{\mathcal{M}}_{g,n}$ 上典型类的拉回。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在阿廷堆栈范畴中构造出不存在的稳定两标记零亏格曲线模空间的合理替代品？
• RQ2 $\widetilde{\mathcal{M}}_{0,2}$ 是否自然地具有与 $n \geq 1$ 时 $\widetilde{\mathcal{M}}_{0,n+1}$ 上循环操作代数结构相容的半群结构？
• RQ3 光滑射影代数簇的上同调是否自然地成为同调操作代数 $A_*(\widetilde{\mathcal{M}}_{0,n+1})$ 上的代数？
• RQ4 能否系统地利用新类 $\tilde{\psi}_i$ 与扩展操作代数结构来表达引力相关函数？

主要发现

• $\widetilde{\mathcal{M}}_{0,2}$ 同构于 $\mathbf{B}\mathbb{G}_m \times \mathscr{W}$，其中 $\mathscr{W}$ 是参数化固定单标记曲线修改的零维阿廷堆栈。
• $\widetilde{\mathcal{M}}_{0,2}$ 的同调环 $A_*(\widetilde{\mathcal{M}}_{0,2})$ 同构于 $R[t_0]$，其中 $R$ 为 $\mathscr{W}$ 的相交环，且其上存在由 $\widetilde{\mathcal{M}}_{0,2}$ 半群结构诱导的非交换、非单位元乘积 $\odot$。
• 操作代数 $(\widetilde{\mathcal{M}}_{0,n+1})_{n \geq 1}$ 是阿廷堆栈范畴中的循环操作代数，且对 $n \geq 2$ 有 $A_*(\widetilde{\mathcal{M}}_{0,n+1}) \cong A_*(\overline{M}_{0,n+1}) \otimes R^{\otimes(n+1)}$。
• 通过证明 [KM] 中定理 1.2 可由 $R[t_0]$ 中一个简单恒等式推出，且该定理向不稳定范围的推广亦可由猜想推出，从而支持了该猜想。
• $\widetilde{\operatorname{st}}: \overline{M}_{g,n}(V,\beta) \to \widetilde{\mathcal{M}}_{g,n}$ 的态射为通常稳定化映射的提升，且 $\tilde{\psi}_i$ 类为 $\widetilde{\mathcal{M}}_{g,n}$ 上典型类的拉回，从而为以扩展操作代数形式表述引力量子上同调提供了可能。