[论文解读] A Cyclic Orbifold Theory for Holomorphic Vertex Operator Algebras and Applications

Sven Möller|arXiv (Cornell University)|Nov 29, 2016

Algebraic structures and combinatorial models被引用 27

一句话总结

本文为幺模顶点算子代数（VOA）开发了一种循环轨道丛构造，证明了具有单电流模的幺模VOA的融合代数同构于有限交换群（即融合群）的群代数，该群代数配备了一个由共形权重导出的非退化二次型。关键贡献在于提出了一种系统化方法，通过轨道丛构造生成中心指数为24的新的幺模VOA，得到了五个新示例，从而完成了Schellekens列出的71个此类VOA中的一部分。

ABSTRACT

In this thesis we develop an orbifold theory for a finite, cyclic group $G$ acting on a suitably regular, holomorphic vertex operator algebra $V$. To this end we describe the fusion algebra of the fixed-point vertex operator subalgebra $V^G$ and show that $V^G$ has group-like fusion. Then we solve the extension problem for vertex operator algebras with group-like fusion. We use these results to construct five new holomorphic vertex operator algebras of central charge 24 as lattice orbifolds, contributing to the classification of the $V_1$-structures of suitably regular, holomorphic vertex operator algebras of central charge 24. As another application we present the BRST construction of ten Borcherds-Kac-Moody algebras whose denominator identities are completely reflective automorphic products of singular weight.

研究动机与目标

• 开发幺模顶点算子代数（VOA）的循环轨道丛构造，将已知方法扩展至包含非对称群作用。
• 在有限交换群作用下，对幺模VOA的融合代数与共形权重数据进行分类，特别关注单电流扩张。
• 建立一种系统化方法，用于构造中心指数为24的新幺模VOA，推动Schellekens发起的分类计划。
• 将轨道丛构造推广至包含扭模与固定点VOA，利用互化算子与模不变性。
• 通过融合群、二次型与模数据之间的相互作用，对所得VOA实现完整分类。

提出的方法

• 利用Verlinde公式，将具有单电流模的幺模VOA的融合代数定义为有限交换群（即融合群）的群代数。
• 从所有不可约模的直和构造阿贝尔互化代数，证明其关联的二次型为共形权重形式的相反数。
• 将该代数限制在极大迷向子群上，得到通过单电流扩张扩展原VOA的新VOA。
• 分析有限循环群自同构作用下的固定点VOA，证明其融合群为原群自乘的中心扩张。
• 利用迹函数的模不变性及S/T-矩阵关系，确定融合群上的融合规则与二次型。
• 将轨道丛构造应用于格VOA，利用扭模与特征标计算新VOA的结构，并验证其幺模性。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有单电流模的幺模VOA的融合代数如何从代数角度表征？
• RQ2 由共形权重诱导的融合群上的二次型结构是什么？它与互化代数有何关系？
• RQ3 轨道丛构造能否推广至自同构的循环群，以生成新的幺模VOA？
• RQ4 在轨道丛构造中，固定点VOA的作用是什么？其融合群与原群有何关系？
• RQ5 轨道方法能否用于构造中心指数为24的新幺模VOA？此类VOA最多可生成多少个？

主要发现

• 具有单电流模的幺模VOA的融合代数同构于有限交换群（称为融合群）的群代数。
• 共形权重模1定义了融合群上的非退化二次型，该二次型控制VOA的模性质。
• 所有不可约模的直和构成一个阿贝尔互化代数，其关联的二次型为共形权重形式的相反数。
• 将该代数限制在极大迷向子群上，可得到通过单电流扩张扩展原VOA的新VOA。
• 在有限循环群自同构作用下，固定点VOA的融合群为原群自乘的中心扩张。
• 将轨道丛构造应用于格VOA，可得到五个新的中心指数为24的幺模VOA，从而完成了Schellekens列出的71个此类VOA中的一部分。