[论文解读] A d-shifted Darboux theorem

Emile Bouaziz, I. Grojnowski|arXiv (Cornell University)|Sep 9, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用 12

一句话总结

本文通过证明在局部范围内，任何此类结构均为一个由函数 $ f \in H^{1-d}(\mathcal{O}) $ 定义的扭曲移位余切丛与一个秩为偶数的二次丛（当 $ d \equiv 2 \pmod{4} $ 时）的乘积，建立了 $ d $-移位辛导出栈的局部正规形。该结果推广了经典 Darboux 定理，并将移位辛结构的分类推广至更高移位情形。

ABSTRACT

We give a local model for d-shifted symplectic dg-schemes, or Deligne-Mumford dg-stacks [PTVV]. Locally any such is a product of a "twisted shifted cotangent bundle", where the twist is given by an element df, with $f \in H^{1-d}(\Cal O)$, and a quadratic bundle in middle degree. The latter only occurs if d = 4r+2.

研究动机与目标

• 提供 $ d $-移位辛导出栈的局部分类，以几何模型为框架。
• 将经典 Darboux 定理推广至导出代数几何中的更高移位辛结构。
• 识别出在 $ d $-移位辛栈中，由几乎拉格朗日子簇构成的叶状结构的障碍，即辛形式在 Witt 群中的类。
• 表明除扭曲余切丛外，唯一额外的局部结构仅在 $ d \equiv 2 \pmod{4} $ 时出现，且以二次丛的形式存在。

提出的方法

• 作者使用 dg-Frobenius 定理，将余切复形的子丛积分化为导出概形的态射。
• 通过在 $ \mathcal{P} \otimes \mathbb{L}_{\mathcal{Y}} $ 值上使用一个闭的 1-形式 $ \tilde{\xi}_1 $，对扭曲移位余切丛进行形变，从而构造出一个新的 $ \mathcal{P} $-移位辛结构。
• 应用代数手术与 Witt 取消，将余切复形分解为一个代谢部分与一个在 $ [-d/2, -d/2] $ 幅度内的部分 $ P $，该部分仅在 $ d \equiv 2 \pmod{4} $ 时非零。
• 利用 de Rham 复形与移位辛结构的形式系统，证明辛形式在局部上可从一个在 cdga 上的对称代数上的标准形式拉回。
• 通过 cdga 的拟同构，证明在某点邻域上的辛结构局部同构于标准 $ df $-扭曲辛形式与 $ P $ 上的二次形式之和。
• 通过使用 étale 局部化与具有指定 Tor 幅值的完美复形的结构，将结果推广至 Artin 与 Deligne-Mumford dg-栈。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 $ d > 0 $，$ d $-移位辛导出栈的局部正规形是什么？
• RQ2 在何种条件下，$ d $-移位辛结构在局部上可分解为扭曲余切丛与二次丛的乘积？
• RQ3 在 $ d $-移位辛导出栈中，寻找由几乎拉格朗日子簇构成的叶状结构的障碍是什么？
• RQ4 为何非平凡二次丛仅在 $ d \equiv 2 \pmod{4} $ 时出现？
• RQ5 是否能通过与标准辛形式的 cdga 拟同构来描述 $ d $-移位辛导出栈的局部结构？

主要发现

• 在局部范围内，每个 $ \mathcal{P} $-移位辛导出栈同构于一个扭曲移位余切丛 $ \operatorname{Sym}^\eta_{\mathcal{O}_Y}(\mathcal{P}^{-1} \otimes \mathbb{L}_Y^*) $ 与一个二次丛 $ P $ 的乘积。
• 二次丛 $ P $ 仅在 $ d \equiv 2 \pmod{4} $ 时非零，且其 Tor 幅值位于 $ [-d/2, -d/2] $。
• 在 $ d $-移位辛栈中，由几乎拉格朗日子簇构成叶状结构的障碍，正是 $ \omega_2 $ 在 Grothendieck-Witt 群 $ KH_0(\mathcal{X}, \mathcal{P}, \lambda_\mathcal{P}) $ 中的类。
• 当 $ d \not\equiv 2 \pmod{4} $ 时，每个局部邻域均 étale-局部同构于一个扭曲移位余切丛。
• 在局部模型上，辛形式 $ \omega $ 通过一个拟同构 $ \sigma: \operatorname{Sym}^\eta_B(\mathbb{L}_B^\dagger + P) \to A $ 从标准形式 $ \omega^{\text{std}}_{df} $ 与由 $ P $ 导出的形式拉回。
• 当 $ d \equiv 2 \pmod{4} $ 时，若 $ P $ 的秩为偶数，则其在 Zariski-局部为代谢；若秩为奇数，则其总可分解为一个 1-维丛与一个代谢丛的乘积，且在 étale-局部总是代谢。