[论文解读] A Data Driven Method for Computing Quasipotentials

Bo Lin, Qianxiao Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 13, 2020

Model Reduction and Neural Networks参考文献 26被引用 6

一句话总结

该论文提出了一种数据驱动的机器学习方法，用于在无需显式模型的情况下计算高维随机动力系统的拟势能。通过利用轨迹数据训练神经网络，学习向量场的正交分解为势分量和旋转向量分量，该方法高效重构了拟势能景观，从而能够准确分析复杂系统（如高维PDE和生物网络）中的罕见事件与跃迁路径。

ABSTRACT

The quasipotential is a natural generalization of the concept of energy functions to non-equilibrium systems. In the analysis of rare events in stochastic dynamics, it plays a central role in characterizing the statistics of transition events and the likely transition paths. However, computing the quasipotential is challenging, especially in high dimensional dynamical systems where a global landscape is sought. Traditional methods based on the dynamic programming principle or path space minimization tend to suffer from the curse of dimensionality. In this paper, we propose a simple and efficient machine learning method to resolve this problem. The key idea is to learn an orthogonal decomposition of the vector field that drives the dynamics, from which one can identify the quasipotential. We demonstrate on various example systems that our method can effectively compute quasipotential landscapes without requiring spatial discretization or solving path-space optimization problems. Moreover, the method is purely data driven in the sense that only observed trajectories of the dynamics are required for the computation of the quasipotential. These properties make it a promising method to enable the general application of quasipotential analysis to dynamical systems away from equilibrium.

研究动机与目标

• 解决在高维非平衡动力系统中计算拟势能的挑战，传统方法因维度灾难而失效。
• 克服路径空间最小化方法（仅限于特定跃迁点）和基于网格的动态规划方法（在高维中不可行）的局限性。
• 开发一种完全数据驱动的方法，直接从观测轨迹中学习拟势能景观，而无需依赖底层动力学模型。
• 为具有复杂吸引子（如稳定平衡点、极限环和高维时空动力学）的系统实现可扩展的全局拟势能映射。
• 利用计算出的拟势能景观，促进对罕见事件、最小作用路径和吸引盆中退出时间的后续分析。

提出的方法

• 将向量场参数化为势分量（标量势函数的梯度）和旋转向量分量（无散向量场）之和，两者均由深度神经网络建模。
• 使用包含两个部分的损失函数训练神经网络：(1) 观测轨迹的重构误差，(2) 确保势分量与旋转向量分量正交。
• 通过在采样数据点上强制势向量场与旋转向量场的内积为零，实现正交性约束，确保物理一致性。
• 通过将学习到的势分量限制在每个吸引子的吸引盆内，并以吸引子处的值作为参考点，计算拟势能。
• 利用学习到的动力学模拟轨迹，并与已知基准（如最小作用方法）对比，验证拟势能景观的准确性。
• 通过将状态投影到由主导傅里叶模态定义的低维子空间中，将该方法应用于高维系统，包括一个40维的反应-扩散系统。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否能够仅通过轨迹数据，利用数据驱动的机器学习方法准确计算高维随机动力系统中的全局拟势能景观，而无需显式模型知识？
• RQ2 神经网络在仅依赖轨迹数据的情况下，能否有效学习向量场到势分量与旋转向量分量的正交分解？
• RQ3 该方法能否有效捕捉具有复杂吸引子（如极限环和高维时空动力学）系统的拟势能景观？
• RQ4 与既有的路径空间最小化方法和基于网格的动态规划方法相比，该方法的精度和收敛行为如何？
• RQ5 计算出的拟势能能在多大程度上用于预测罕见跃迁事件、最小作用路径以及从吸引盆中退出的时间？

主要发现

• 该方法仅使用 $4 \times 10^6$ 条轨迹数据点，成功计算了40维反应-扩散系统的拟势能景观，测试轨迹上的重构误差为 $8.227 \times 10^{-4} \pm 6.741 \times 10^{-4}$。
• 通过数据驱动方法计算出的拟势能等值线与使用最小作用方法获得的结果高度一致，验证了其准确性。
• 该方法无需空间离散化或路径优化，实现了全局拟势能映射，克服了传统方法在可扩展性方面的局限。
• 基于神经网络的正交分解能有效将向量场分离为具有物理意义的势分量与旋转向量分量，从而实现稳健的拟势能估计。
• 该方法支持后续分析，如识别最小作用路径和利用拟势能景观估算从吸引盆中退出的时间。
• 该方法完全基于数据：它从观测轨迹中同时学习底层动力学与拟势能，而无需显式给出随机微分方程的形式。