[论文解读] A Data-Driven Surrogate Modeling Approach for Time-Dependent Incompressible Navier-Stokes Equations with Dynamic Mode Decomposition and Manifold Interpolation

Martin W. Hess, Annalisa Quaini+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 26, 2022

Model Reduction and Neural Networks被引用 4

一句话总结

本文提出一种基于数据的代理建模方法，用于时间依赖的不可压缩纳维-斯托克斯方程，采用结合 Proper Orthogonal Decomposition (POD)、Dynamic Mode Decomposition (DMD) 和流形插值的多步框架。该方法在雷诺-贝纳德腔问题中准确捕捉了周期性和混沌流动，甚至恢复了训练数据中不存在的频率，在高格拉晓夫数区域接近湍流时达到工程精度（2–15% 的平均误差）。

ABSTRACT

This work introduces a novel approach for data-driven model reduction of time-dependent parametric partial differential equations. Using a multi-step procedure consisting of proper orthogonal decomposition, dynamic mode decomposition and manifold interpolation, the proposed approach allows to accurately recover field solutions from a few large-scale simulations. Numerical experiments for the Rayleigh-Bénard cavity problem show the effectiveness of such multi-step procedure in two parametric regimes, i.e.~medium and high Grashof number. The latter regime is particularly challenging as it nears the onset of turbulent and chaotic behaviour. A major advantage of the proposed method in the context of time-periodic solutions is the ability to recover frequencies that are not present in the sampled data.

研究动机与目标

• 开发一种非侵入式、基于数据的参数化偏微分方程（PDE）降阶模型（ROM），适用于具有复杂动力学（包括分岔和周期性）的时间依赖问题。
• 解决在参数值之间插值时，解的时间频率与采样数据不同的挑战，特别是在接近湍流的高格拉晓夫数区域。
• 仅使用少数采样参数的高保真度模拟数据，实现在新参数值下的场解在线精确预测。
• 克服标准 ROM、人工神经网络（ANN）、神经 ODE 和稀疏识别方法在捕捉分岔系统中频率偏移方面的局限性。
• 在雷诺-贝纳德腔问题上验证该方法，该问题是具有霍普夫分岔和复杂时间周期行为的基准问题。

提出的方法

• 应用 Proper Orthogonal Decomposition (POD) 提取空间模态并降低高保真度纳维-斯托克斯解的维度。
• 对 POD 系数应用 Dynamic Mode Decomposition (DMD)，以提取时间动力学，包括频率和增长率。
• 使用流形插值在参数值之间插值 DMD 算子，以处理非线性参数依赖性。
• 通过结合 POD 模态与插值后的 DMD 动力学构建代理模型，实现在新参数下的在线预测。
• 采用多阶段离线-在线分解：离线计算 POD 模态、DMD 算子和流形插值；在线在低成本设备上评估。
• 在未来的扩展中应用非平坦度量或复数 DMD，以提高插值的稳定性和准确性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当在线参数处解的频率与训练数据中的频率不同时，基于数据的 ROM 是否能准确预测参数化 PDE 中的时间周期性解？
• RQ2 在存在分岔的参数域中，如何有效插值基于 DMD 的动力学，特别是当时间周期发生显著变化时？
• RQ3 DMD 算子的流形插值在高格拉晓夫数区域在多大程度上能保持时间周期性解的正确频率和振幅？
• RQ4 该多步方法是否能在捕捉混沌区域附近的复杂非平稳行为方面优于标准 ROM、人工神经网络（ANN）和稀疏识别技术？
• RQ5 该方法是否足够稳健，能在中等和高格拉晓夫数区域（包括近湍流流动）实现工程精度？

主要发现

• 所提出的 ROM 在中等和高格拉晓夫数区域的 L² 和 L∞ 范数下均实现了 2% 至 15% 的平均相对误差，与全阶解的直接比较中误差更低。
• 在 Gr = 674.92×10³ 时，该方法在 L² 和 L∞ 范数下的平均误差和最大误差分别为 3.5%–5%，尽管部分涡旋存在相位偏差，但仍准确捕捉了所有主要流动特征。
• 在 Gr = 683.985×10³ 时，L∞ 范数下的平均误差增至 14%，最大误差达 25%，这是由于中间涡旋的相位错位所致，表明复杂流动中对相位精度的敏感性。
• 该方法成功恢复了采样数据中未包含的频率，使得在新参数值下即使时间动力学发生偏移，也能实现准确模拟。
• 高阶 POD 模态表现出复杂且非正弦的行为，标准 DMD 难以准确捕捉，但该方法优先保证主导模态的精确表示，足以满足工程精度要求。
• 在高 Gr 区域，该方法的性能优于与全阶解在固定时间步长下的直接比较，后者误差高达 35%，而 ROM 的平均误差始终低于 15%。