[论文解读] A de Casteljau Algorithm for Bernstein type Polynomials based on (p,q)-integers

Khalid Khan, D. K. Lobiyal+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 15, 2015

Advanced Numerical Analysis Techniques被引用 9

一句话总结

本文提出了一种基于$(p,q)$-整数的$(p,q)$-Bernstein Bézier曲线与曲面的de Casteljau算法，推广了$q$-Bézier曲线。该方法建立了次数提升与降低的性质，通过参数$p$和$q$保持形状，并将de Casteljau算法扩展至$[0,1]\times[0,1]$上的张量积曲面，当$p_1 = p_2 = 1$时可恢复$q$-Bézier曲线。该方法实现了灵活的形状控制，并通过递归计算实现高效求值。

ABSTRACT

In this paper, a de Casteljau algorithm to compute (p,q)-Bernstein Bezier curves based on (p,q)-integers is introduced. We study the nature of degree elevation and degree reduction for (p,q)-Bezier Bernstein functions. The new curves have some properties similar to q-Bezier curves. Moreover, we construct the corresponding tensor product surfaces over the rectangular domain (u, v) \in [0, 1] imes [0, 1] depending on four parameters. We also study the de Casteljau algorithm and degree evaluation properties of the surfaces for these generalization over the rectangular domain. Furthermore, some fundamental properties for (p,q)-Bernstein Bezier curves are discussed. We get q-Bezier curves and surfaces for (u, v) \in [0, 1] imes [0, 1] when we set the parameter p1 = p2 = 1.

研究动机与目标

• 基于$(p,q)$-整数开发一种$(p,q)$-Bernstein Bézier曲线的de Casteljau算法，推广现有的$q$-Bézier方法。
• 研究$(p,q)$-Bézier函数的次数提升与降低性质，确保形状保持与控制。
• 将de Casteljau算法扩展至矩形域$(u,v)\in[0,1]\times[0,1]$上的张量积曲面。
• 证明当$p_1 = p_2 = 1$时，$(p,q)$-Bézier模型可还原为经典$q$-Bézier模型，验证其推广性。

提出的方法

• 提出一种基于$(p,q)$-整数的递归de Casteljau算法，用于计算$(p,q)$-Bézier曲线与曲面上的点。
• 通过$(p,q)$-二项式系数与$[k]_{p,q}$整数定义$(p,q)$-Bernstein基函数，确保端点插值。
• 推导出依赖于$p$、$q$与多项式次数的系数$\alpha_i$与$\beta_j$，得到次数提升公式。
• 利用控制点$\mathbf{P}_{i,j}$与基函数$B^{i,m}_{p_1,q_1}(u)B^{j,n}_{p_2,q_2}(v)$构造张量积曲面。
• 在$u$与$v$方向上分别使用递归求值步骤的矩阵形式，递归应用de Casteljau算法。
• 利用递归公式$\mathbf{P}^{r,r}_{i,j}(u,v)$计算中间控制点，直至收敛至曲面上一点。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何基于$(p,q)$-整数将de Casteljau算法推广至$(p,q)$-Bézier曲线？
• RQ2 $(p,q)$-Bézier曲线的次数提升与降低性质是什么？与$q$-Bézier曲线相比有何异同？
• RQ3 如何将de Casteljau算法扩展以计算张量积$(p,q)$-Bézier曲面上的点？
• RQ4 参数$p$与$q$在$(p,q)$-Bézier曲线与曲面中提供了哪些形状控制特性？
• RQ5 在何种条件下$(p,q)$-Bézier模型会退化为经典$q$-Bézier模型？

主要发现

• 基于递归求值与依赖于$p$和$q$的系数，成功将de Casteljau算法推广至$(p,q)$-Bézier曲线。
• $(p,q)$-Bézier曲线的次数提升与降低性质定义明确，已推导出新控制点的显式公式。
• 在$[0,1]\times[0,1]$上构造了张量积$(p,q)$-Bézier曲面，并支持通过de Casteljau算法进行递归求值。
• 当$p_1 = p_2 = 1$时，$(p,q)$-Bézier模型退化为$q$-Bézier模型，验证了与已有工作的兼容性。
• 参数$p$与$q$提供了有效的形状控制：当$0<q<p\leq1$时，减小$p$与$q$可使曲线更贴近控制多边形；增大则使曲线向外移动。
• 该算法保持了总正性与形状保持性质，且端点与控制多边形的顶点完全匹配。