[论文解读] A decomposition theorem for projective manifolds with nef anticanonical bundle

Jingyi Cao, Andreas Höring|arXiv (Cornell University)|Jun 27, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory被引用 4

一句话总结

该论文建立了具有 nef 反canonical 线丛的射影流形的分解定理：若流形单连通，则其分裂为一个有理连通流形与一个具有平凡 canonical 线丛的流形的乘积。证明利用了直接像层的正性与双有理几何，构造出全纯纤维化结构，最终表明 MRC 纤维化是一个局部平凡纤维化，其纤维为有理连通的，且底空间具有平凡 canonical 类。

ABSTRACT

Let X be a simply connected projective manifold with nef anticanonical bundle. We prove that X is a product of a rationally connected manifold and a manifold with trivial canonical bundle. As an application we describe the MRC fibration of any projective manifold with nef anticanonical bundle.

研究动机与目标

• 在基本群平凡的假设下，证明具有 nef 反canonical 线丛的射影流形的分解定理。
• 描述此类流形的 MRC 纤维化的结构，表明其为具有有理连通纤维的局部平凡纤维化。
• 证明 MRC 纤维化底空间具有平凡 canonical 类，将 Beauville-Bogomolov 猜想推广至射影情形。
• 利用在拟射影代数簇上的直接像层技术，对具有 nef 反canonical 线丛的流形提供几何刻画。
• 在先前关于 Albanese 纤维化结果的基础上，解决射影情形下 MRC 纤维化的结构问题。

提出的方法

• 将 MRC 纤维化视为几乎全纯映射，并通过一般纤维的 Chow 空间构造一个双有理模型。
• 定义一个解析空间 $\varphi: \Gamma \to Y$，其为 Chow 空间某分量上全族的解析模型，其中 $\pi: \Gamma \to X$ 是双有理映射。
• 研究大数 $m$ 和可被 $p$ 整除的 $p$ 的直接像层 $\mathcal{V}_p := \varphi_* \mathcal{O}_\Gamma(pL + pmE - \frac{p}{r}\varphi^* \det \varphi_* \mathcal{O}_\Gamma(L + mE))$。
• 证明这些层在 $Y$ 的一个单连通开子集 $Y_0 \subset Y$ 上是平凡向量丛，且该子集上仅有常值全纯函数。
• 应用 [DPS94] 中的技术，推导出双有理映射 $\varphi^{-1}(Y_0) \dashrightarrow Y_0 \times F$，其中 $F$ 是一般的 MRC 纤维。
• 利用 $X$ 的一个 Zariski 开子集上切丛的分裂性，推导出全局分裂性，从而得到乘积分解。

实验结果

研究问题

• RQ1 一个具有 nef 反canonical 线丛的单连通射影流形是否可分解为一个有理连通流形与一个具有平凡 canonical 线丛的流形的乘积？
• RQ2 具有 nef 反canonical 线丛的射影流形的 MRC 纤维化是否允许一个全纯且局部平凡的结构？
• RQ3 能否通过在非紧致拟射影基上的直接像层正性来描述 MRC 纤维化的结构？
• RQ4 在稠密开子集上切丛的分裂性在多大程度上蕴含流形上的全局乘积结构？
• RQ5 Beauville-Bogomolov 猜想是否对具有 nef 反canonical 线丛的射影流形成立？

主要发现

• 任何具有 nef 反canonical 线丛的单连通射影流形均可分解为乘积 $X \simeq Y \times F$，其中 $K_Y \sim 0$ 且 $F$ 为有理连通的。
• 任何具有 nef 反canonical 线丛的射影流形的 MRC 纤维化均为局部平凡纤维化，其纤维为有理连通的，且底空间具有平凡 canonical 类。
• MRC 纤维化底空间的 Kodaira 维数为零，与猜想的 Beauville-Bogomolov 分解一致。
• 在 Zariski 开子集 $Y_0 \subset Y$ 上的直接像层 $\mathcal{V}_p$ 为平凡向量丛，从而可构造出双有理乘积结构。
• 在 $X$ 中余维数至少为二的闭子集的补集上，切丛的分裂性诱导出两个代数可积的叶状结构，从而导出全局乘积分解。
• 该结果证实了具有 nef 反canonical 线丛的射影流形的 Beauville-Bogomolov 猜想，扩展了在更强假设下先前的结果。