[论文解读] A Degree 4 Sum-Of-Squares Lower Bound for the Clique Number of the Paley Graph

Dmitriy Kunisky, Xifan Yu|arXiv (Cornell University)|Nov 4, 2022

Limits and Structures in Graph Theory被引用 1

一句话总结

本文建立了对 p 个顶点的 Paley 图的团数的四次平方和（SOS）下界为 Ω(p^{1/3})，证明了 SOS 松弛方法无法在该阈值以下证明团数。该结果通过一种去随机化的 Feige-Krauthgamer 伪矩生成方法推导得出，表明该方法的下界是紧致的，提示四次 SOS 可能将指数从 1/2 改进至 1/3，但无法突破 √p 的障碍。

ABSTRACT

We prove that the degree 4 sum-of-squares (SOS) relaxation of the clique number of the Paley graph on a prime number $p$ of vertices has value at least $Ω(p^{1/3})$. This is in contrast to the widely believed conjecture that the actual clique number of the Paley graph is $O(\mathrm{polylog}(p))$. Our result may be viewed as a derandomization of that of Deshpande and Montanari (2015), who showed the same lower bound (up to $\mathrm{polylog}(p)$ terms) with high probability for the Erdős-Rényi random graph on $p$ vertices, whose clique number is with high probability $O(\log(p))$. We also show that our lower bound is optimal for the Feige-Krauthgamer construction of pseudomoments, derandomizing an argument of Kelner. Finally, we present numerical experiments indicating that the value of the degree 4 SOS relaxation of the Paley graph may scale as $O(p^{1/2 - ε})$ for some $ε> 0$, and give a matrix norm calculation indicating that the pseudocalibration proof strategy for SOS lower bounds for random graphs will not immediately transfer to the Paley graph. Taken together, our results suggest that degree 4 SOS may break the "$\sqrt{p}$ barrier" for upper bounds on the clique number of Paley graphs, but prove that it can at best improve the exponent from $1/2$ to $1/3$.

研究动机与目标

• 研究平方和（SOS）层级是否能为 Paley 图的团数提供强于当前已知的上界。
• 将先前针对 Erdős–Rényi 随机图建立的四次 SOS 下界去随机化，应用于确定性的 Paley 图。
• 确定 Feige-Krauthgamer 伪矩生成方法是否为 Paley 图上的四次 SOS 提供最优下界。
• 评估数值证据和矩阵范数界是否表明四次 SOS 可能突破团数上界中的 √p 障碍。

提出的方法

• 通过受 Feige 和 Krauthgamer 启发的伪矩生成方法，推导出基于 Paley 圖的四次 SOS 下界，该方法已适配于确定性图。
• 构造一个满足 SOS 约束的有效伪矩矩阵，并证明其目标值在素数 p 下为 Ω(p^{1/3})。
• 利用 Paley 图在有限域 F_p 上定义（其中 p ≡ 1 mod 4），并利用其二次剩余结构以确保对称性和正则性。
• 将 Feige-Krauthgamer 框架应用于 Paley 圖，证明由此产生的下界对该构造是最优的。
• 对 p ≤ 250 的 SDP 松弛进行数值实验，拟合 SOS4(G_p) 和 FK 伪矩值的幂律模型。
• 分析 Seidel 邻接矩阵的矩阵范数，表明 AMP [AMP16] 的界对 Paley 圖不成立，提示其与随机图存在结构性差异。

实验结果

研究问题

• RQ1 四次 SOS 松弛能否为 Paley 圖的团数提供低于 √p 障碍的下界？
• RQ2 Feige-Krauthgamer 伪矩生成方法是否为 Paley 圖上的四次 SOS 提供最优下界？
• RQ3 数值实验是否表明 SOS4(G_p) 的尺度为 O(p^{1/2−ε})（其中 ε > 0）？
• RQ4 为何 [AMP16] 中的矩阵范数界（在随机图中成立）对 Paley 圖不成立？

主要发现

• 对 p 个顶点的 Paley 圖的四次 SOS 松弛具有 Ω(p^{1/3}) 的下界，证明 SOS 方法无法在该阈值以下证明团数。
• 所用的伪矩生成方法在 Feige-Krauthgamer 框架下是最优的，确认了 FK4(G_p) = O(p^{1/3}) 对 Paley 圖成立。
• 数值实验表明 SOS4(G_p) 的尺度为 p^{0.395}，低于 √p 阈值，支持 SOS4(G_p) = O(p^{1/2−ε})（其中 ε > 0）的猜想。
• Paley 圖的 Seidel 邻接矩阵的矩阵范数增长为 p^2，违反了对 Erdős–Rényi 图成立的 O(p^{3/2}) 界，表明其结构性差异，使得无法直接将随机图的 SOS 技术迁移应用。
• 随机图 SOS 下界中使用的伪校准方法无法立即应用于 Paley 圖，原因在于其邻接矩阵缺乏谱波动性。
• 结果表明，四次 SOS 可能将 Paley 圖团数上界中的指数从 1/2 改进至 1/3，但无法突破 √p 障碍。