[论文解读] A degree sequence Hajnal--Szemerédi theorem

Andrew Treglown|arXiv (Cornell University)|Dec 4, 2014

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 29被引用 7

一句话总结

本文證明了 Hajnal–Szemerédi 定理的漸近度序列版本，顯示若圖的度序列滿足某些下界條件，則其包含一個完美的 $K_r$-包裝。本文透過度序列條件將 Alon–Yuster 定理推廣至任意圖 $H$，並運用正則性與吸收法，針對完美 $H$-包裝及有向圖中的傳遞競賽包裝，取得漸近最佳結果。

ABSTRACT

We say that a graph $G$ has a perfect $H$-packing if there exists a set of vertex-disjoint copies of $H$ which cover all the vertices in $G$. The seminal Hajnal--Szemerédi theorem characterises the minimum degree that ensures a graph $G$ contains a perfect $K_r$-packing. Balogh, Kostochka and Treglown proposed a degree sequence version of the Hajnal--Szemerédi theorem which, if true, gives a strengthening of the Hajnal--Szemerédi theorem. In this paper we prove this conjecture asymptotically. Another fundamental result in the area is the Alon--Yuster theorem which gives a minimum degree condition that ensures a graph contains a perfect $H$-packing for an \emph{arbitrary} graph $H$. We give a wide-reaching generalisation of this result by answering another conjecture of Balogh, Kostochka and Treglown on the degree sequence of a graph that forces a perfect $H$-packing. We also prove a degree sequence result concerning perfect transitive tournament packings in directed graphs. The proofs blend together the regularity and absorbing methods.

研究动机与目标

• 證明 Hajnal–Szemerédi 定理的漸進度序列版本，以度序列條件取代最小度條件，從而允許部分頂點的度低於 $(r-1)n/r$。
• 解決 Balogh、Kostochka 與 Treglown 對任意圖 $H$ 的度序列條件強制完美 $H$-包裝的猜想。
• 透過建立度序列條件，將 Alon–Yuster 定理推廣至任意圖 $H$ 的完美 $H$-包裝。
• 透過證明傳遞競賽完美包裝的度序列結果，將理論推廣至有向圖設定。

提出的方法

• 使用正則性方法將圖劃分為 $ε$-正則對，並應用正則性引理以控制邊的分佈。
• 應用吸收法構造一個小的吸收集合，使其能吸收任何適當大小的剩餘小頂點集合。
• 採用類似爆破引理的論證，將 $K_r$-路徑與 $K_r^h$-路徑嵌入至簡化圖及其子圖中。
• 實施度序列條件：對於 $i < n/r$，有 $d_i \geq (r-2)n/r + i + \gamma n$，確保初始頂點具有足夠的最小度。
• 使用正則性方法構造一個強健擴張的簡化圖 $R$，使其能控制端點的 $K_r$-路徑嵌入。
• 使用輔助圖與機率計數方法，證明存在大量 $K_r^h$-路徑，從而確保吸收配置的存在。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否將 Hajnal–Szemerédi 定理從最小度條件強化為允許部分頂點度低於 $(r-1)n/r$ 的度序列條件？
• RQ2 度序列條件 $d_i \geq (r-2)n/r + i + \gamma n$（其中 $i < n/r$）且 $d_{n/r+1} \geq (r-1)n/r$ 是否能保證存在完美 $K_r$-包裝？
• RQ3 能否將 Alon–Yuster 對完美 $H$-包裝的最小度條件推廣為任意圖 $H$ 的度序列條件？
• RQ4 是否存在一個度序列條件，能強制有向圖中傳遞競賽的完美包裝？
• RQ5 能否將吸收法與正則性方法結合，於度序列約束下證明 $H$-包裝的漸近結果？

主要发现

• 本文證明：對於任意 $\gamma > 0$ 和 $r \in \mathbb{N}$，存在 $n_0$，使得任何頂點數 $n \geq n_0$ 且滿足 $r \mid n$ 的圖，若對所有 $i < n/r$ 有 $d_i \geq (r-2)n/r + i + \gamma n$，則其包含完美 $K_r$-包裝。
• 度序列條件在漸近意義下為最佳，如 Balogh、Kostochka 與 Treglown（2014）的構造所示。
• 本文解決了 Balogh、Kostochka 與 Treglown 對任意圖 $H$ 的度序列條件強制完美 $H$-包裝的猜想，並推廣了 Alon–Yuster 定理。
• 本文建立了有向圖中傳遞競賽完美包裝的度序列結果，將理論推廣至有向圖設定。
• 滿足 $A \cup \{x,y\}$ 構成長度為 $s'$ 的 $K_r^h$-路徑的 $s$-子集 $A \subseteq V(G) \setminus \{x,y\}$ 的數量至少為 $\gamma' n^s$，其中 $\gamma' \ll \gamma$，確保吸收過程具有足夠彈性。
• 對於任意 $W \subseteq V(G) \setminus M$ 滿足 $|W| \in h\mathbb{N}$ 且 $|W| \leq \nu^3 n$，保證存在大小為 $\nu n$ 的 $H$-吸收集合，從而確保證明中最後一輪吸收步驟的可行性。