[论文解读] A degree theory approach for the shooting method

Congming Li|arXiv (Cornell University)|Jan 26, 2013

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 11被引用 15

一句话总结

本文提出了一种新颖的度理论方法，用于椭圆组的打靶法，通过引入'目标映射'来建立全局正解的存在性。通过使用拓扑度理论证明目标映射是满射，该文在临界和超临界情形下解决了Lane-Emden猜想，即当 $\frac{1}{p+1} + \frac{1}{q+1} \leq \frac{n-2k}{n}$ 时解存在。

ABSTRACT

The classical shooting-method is about finding a suitable initial shooting positions to shoot to the desired target. The new approach formulated here, with the introduction and the analysis of the `target map' as its core, naturally connects the classical shooting-method to the simple and beautiful topological degree theory. We apply the new approach, to a motivating example, to derive the existence of global positive solutions of the Hardy-Littlewood-Sobolev (also known as Lane-Emden) type system: [{{aligned} &(- riangle)^ku(x) = v^p(x), \,\, u(x)>0 \quad ext{in}\quad\mathbb{R}^n, & (- riangle)^k v(x) =u^q(x), \,\, v(x)>0 \quad ext{in}\quad\mathbb{R}^n, p, q>0, {aligned}.] in the critical and supercritical cases $\frac{1}{p+1}+\frac{1}{q+1}\leq\frac{n-2k}{n}$. Here we derive the existence with the computation of the topological degree of a suitably defined target map. This and some other results presented in this article completely solved several long-standing open problems about the existence or non-existence of positive entire solutions.

研究动机与目标

• 建立一个拓扑框架，将经典的打靶法与椭圆组的度理论联系起来。
• 解决关于Hardy-Littlewood-Sobolev系统和Lane-Emden系统全局正解的存在性与非存在性长期悬而未决的开放问题。
• 利用在球面上解的非存在性，证明在临界和超临界情形下径向正解的存在性。
• 表明通过度理论推导出的目标映射的满射性，可保证全局解的存在。

提出的方法

• 定义一个从初值到径向解渐近行为的目标映射，其定义域为初值，值域为可能的目标。
• 利用常微分方程理论和非线性项 $F$ 的非退化性假设，证明目标映射的连续性。
• 应用拓扑度理论（来自[14]和[17]）计算目标映射的度，并证明其非零，从而推出满射性。
• 利用目标映射的满射性，推导出系统全局正解的存在性。
• 通过辅助变量 $w_i$ 将系统 $(-\triangle)^k u = v^p$, $(-\triangle)^k v = u^q$ 化为一阶常微分方程组。
• 利用在球 $B_R$ 上径向解的非存在性，通过定理1推断出全局解的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 椭圆组的打靶法是否能通过度理论实现拓扑化，从而确保全局解的存在性？
• RQ2 在何种条件下，Hardy-Littlewood-Sobolev型系统 $(-\triangle)^k u = v^p$, $(-\triangle)^k v = u^q$ 具有全局正解？
• RQ3 Lane-Emden猜想是否在临界和超临界情形 $\frac{1}{p+1} + \frac{1}{q+1} \leq \frac{n-2k}{n}$ 下被完全解决？
• RQ4 能否利用在球 $B_R$ 上解的非存在性，通过度理论的打靶论证推断出全局解的存在性？

主要发现

• 当 $\frac{1}{p+1} + \frac{1}{q+1} \leq \frac{n-2k}{n}$ 且 $2k < n$ 时，系统 $(-\triangle)^k u = v^p$, $(-\triangle)^k v = u^q$ 在临界和超临界情形下存在全局正径向解。
• 与打靶法相关的目标映射是连续的，且其拓扑度非零，意味着它是满射。
• 全局解的存在性由目标映射的满射性推出，该满射性通过在 $F$ 的温和假设下应用度理论建立。
• 对于标量情形 $(-\triangle)^k u = u^p$，有限能量解存在的充要条件是 $p = \frac{n+2k}{n-2k}$，而在次临界情形下无解。
• 在除临界情形外的所有情况下，能量 $\int_{\mathbb{R}^n} u^{q+1}$ 均为无穷大，表明在临界和超临界情形下解具有无穷能量。
• 对 $F$ 的非退化性条件确保了对所有 $\beta \in \partial \mathbb{R}_+^L$, $\beta \neq 0$，有 $F(\beta) \neq 0$，这对目标映射的连续性和满射性至关重要。