[论文解读] A Delaunay-type classification result for prescribed mean curvature surfaces in $\mathbb{M}^2(\kappa) imes\mathbb{R}$

Antonio Bueno|arXiv (Cornell University)|Jul 26, 2018

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 25被引用 6

一句话总结

本文在乘积空间 $\mathbb{M}^2(\kappa) \times \mathbb{R}$ 中建立了具有给定平均曲率的旋转曲面的Delaunay型分类，通过分析旋转H-曲面截面曲线的相平面动力学，证明了H-球面、H-波状面和H-扭状面的存在性。该研究将H-曲面理论从常平均曲率情形推广至非恒定平均曲率情形，表明 $\mathbb{M}^2(\kappa) \times \mathbb{R}$ 中的完备旋转H-曲面根据相平面上轨道行为被分类为波状面、扭状面和球面型，对 $\kappa = 1$ 和 $\kappa = -1$ 给出了明确的几何与拓扑分类结果。主要贡献在于建立了一种类似于经典Delaunay曲面的完整分类，适用于角函数的 $C^1$ 函数。

ABSTRACT

The purpose of this paper is to study immersed surfaces in the product spaces $\mathbb{M}^2(\kappa) imes\mathbb{R}$, whose mean curvature is given as a $C^1$ function depending on their angle function. This class of surfaces extends widely, among others, the well-known theory of surfaces with constant mean curvature. In this paper we give necessary and sufficient conditions for the existence of prescribed mean curvature spheres, and we describe complete surfaces of revolution proving that they behave as the Delaunay surfaces of CMC type.

研究动机与目标

• 将具有给定平均曲率的曲面理论从 $\mathbb{R}^3$ 推广至乘积空间 $\mathbb{M}^2(\kappa) \times \mathbb{R}$，其中 $\mathbb{M}^2(\kappa)$ 具有常曲率 $\kappa$。
• 为 $\mathbb{M}^2(\kappa) \times \mathbb{R}$ 中H-球面的存在性建立必要且充分的条件，其中 $H$ 是角函数 $\nu$ 的 $C^1$ 函数。
• 对 $\mathbb{M}^2(\kappa) \times \mathbb{R}$ 中的完备旋转H-曲面进行分类，推广经典Delaunay对常平均曲率曲面的分类。
• 通过分析旋转H-曲面截面曲线的相平面动力学，确定其几何类型：波状面、扭状面和嵌入环面。
• 证明H-波状面构成一个连续的1参数族，在两端分别收敛于一系列相切的H-球面和CMC圆柱面。

提出的方法

• 在 $\mathbb{M}^2(\kappa) \times \mathbb{R}$ 中定义H-曲面为平均曲率满足 $H_\Sigma(p) = H(\nu(p))$ 的曲面，其中 $\nu(p)$ 是度量曲率法向量与竖直向量场 $\partial_z$ 的内积（即角函数）。
• 由旋转对称性及给定平均曲率的PDE，推导出截面曲线方程，将问题约化为相平面上的二阶自治常微分方程。
• 对 $\varepsilon = \pm1$ 的相平面 $\Theta^\varepsilon_\kappa$ 进行分析，识别平衡点，并根据其行为与对称性对轨道进行分类。
• 利用几何最大值原理及H-图像柯西问题的唯一性，证明在 $y = \pm1$ 处有端点的轨道可生成具有边界的紧致对称H-曲面。
• 通过沿边界分量以匹配法向量的方式拼接 $\Sigma^\kappa_1$ 与 $\Sigma^\kappa_{-1}$，构造H-扭状面，得到非嵌入、恰当嵌入、平移不变的曲面，微分同胚于 $S^1 \times \mathbb{R}$。
• 证明位于包围平衡点 $e^{1,\kappa}_0$ 的区域 $W^\kappa_0$ 中的轨道产生H-波状面，其特征为 $x(s)$ 周期性且 $z(s)$ 严格递增，表明具有波状截面轮廓，并在角度方向上紧致。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，给定的平均曲率函数 $H \in C^1([−1,1])$ 会在 $\mathbb{M}^2(\kappa) \times \mathbb{R}$ 中生成紧致嵌入的H-球面？
• RQ2 在 $\mathbb{M}^2(\kappa) \times \mathbb{R}$ 中存在哪些类型的完备旋转H-曲面？它们如何推广经典Delaunay曲面？
• RQ3 H-波状面能否被分类为一个连续的1参数族？其渐近极限为何？
• RQ4 相平面结构在决定旋转H-曲面的拓扑与几何中起何作用？
• RQ5 是否可沿边界分量拼接H-曲面以形成更大的H-曲面？在何种条件下会产生嵌入环面？

主要发现

• 当 $\kappa = 1$ 时，$S^2 \times \mathbb{R}$ 中存在旋转嵌入H-环面，当且仅当轨道经过 $(\pi/2, \pm1)$，这恰好发生在 $x_1 = \pi/2$ 时，确保关于平面 $\{x = \pi/2\}$ 的对称性。
• 当截面曲线的轨道端点位于 $(x_\kappa, \pm1)$ 时，$\mathbb{M}^2(\kappa) \times \mathbb{R}$ 中存在H-球面，此时曲面为在 $\mathbb{M}^2$ 上的环形区域上的紧致对称双图。
• H-波状面由包围平衡点 $e^{1,\kappa}_0$ 的 $W^\kappa_0$ 区域中的闭轨道生成，其特征为 $x(s)$ 周期性且 $z(s)$ 严格递增，形成连续的1参数族。
• H-扭状面通过沿法向量匹配的边界分量拼接 $\Sigma^\kappa_1$ 与 $\Sigma^\kappa_{-1}$ 构造而成，得到非嵌入、恰当嵌入、平移不变的曲面，微分同胚于 $S^1 \times \mathbb{R}$。
• H-波状面族在相平面动力学预测下，一端连续收敛于奇异的竖直相切H-球面链 $S_H$，另一端收敛于CMC圆柱面 $C_H$。
• 在 $H^2 \times \mathbb{R}$（即 $\kappa = -1$）中，由于命题2.3的拓扑障碍，嵌入H-环面不可能存在，排除了 $a = d$ 且 $b = c$ 的情形。