[论文解读] A density-matrix renormalization group algorithm for simulating quantum circuits with a finite fidelity

Thomas Ayral, Thibaud Louvet+4 more|arXiv (Cornell University)|Jul 12, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 4

一句话总结

本文提出一种专用于模拟有限保真度量子线路的密度矩阵系维化群（DMRG）算法，将DMRG从哈密顿量推广至酉量子线路的演化。该方法在深度线路的模拟中相比精确方法实现指数级加速，在单核上达到谷歌量子优越性实验的保真度水平，且将QAOA线路的错误率降低100倍，表明当前量子计算的主要瓶颈是保真度而非量子比特数量。

ABSTRACT

We develop a density-matrix renormalization group (DMRG) algorithm for the simulation of quantum circuits. This algorithm can be seen as the extension of time-dependent DMRG from the usual situation of hermitian Hamiltonian matrices to quantum circuits defined by unitary matrices. For small circuit depths, the technique is exact and equivalent to other matrix product state (MPS) based techniques. For larger depths, it becomes approximate in exchange for an exponential speed up in computational time. Like an actual quantum computer, the quality of the DMRG results is characterized by a finite fidelity. However, unlike a quantum computer, the fidelity depends strongly on the quantum circuit considered. For the most difficult possible circuit for this technique, the so-called "quantum supremacy" benchmark of Google Inc. , we find that the DMRG algorithm can generate bit strings of the same quality as the seminal Google experiment on a single computing core. For a more structured circuit used for combinatorial optimization (Quantum Approximate Optimization Algorithm or QAOA), we find a drastic improvement of the DMRG results with error rates dropping by a factor of 100 compared with random quantum circuits. Our results suggest that the current bottleneck of quantum computers is their fidelities rather than the number of qubits.

研究动机与目标

• 开发一种基于DMRG的方法，用于模拟具有有限保真度的量子线路，将该技术从哈密顿量推广至酉演化。
• 在三种线路类型上对算法进行基准测试：谷歌的量子优越性线路、随机线路以及用于组合优化的QAOA线路。
• 评估在模拟近期量子设备时，计算成本还是保真度是主要限制因素。
• 证明结构化线路（如QAOA）相比随机线路能从DMRG中获得更大收益，揭示保真度对线路结构的依赖性。

提出的方法

• 将时间依赖DMRG算法改进为处理酉演化矩阵而非哈密顿量，从而实现对量子线路的模拟。
• 使用矩阵乘积态（MPS）表示法压缩量子态，通过截断至纠缠维度χ以提升计算效率。
• 对MPS应用奇异值分解（SVD），识别并保留最重要的纠缠模式，其中奇异值满足Sμ ∝ 2−N/4g(μ/2N/2)的缩放关系。
• 利用缩放律g(x) = 2cos(½A⁻¹(πx))建模奇异值分布，并预测截断引起的保真度衰减。
• 采用梅特罗波利斯采样生成符合|Ψx|²分布的比特串，实现对测量结果的高效采样。
• 使用交叉熵基准测试量化保真度，并与实际量子硬件性能进行比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 DMRG能否推广至模拟由酉演化控制的量子线路，而非哈密顿量时间演化？
• RQ2 DMRG模拟的保真度如何依赖于量子线路的结构，特别是随机线路与结构化线路之间的差异？
• RQ3 DMRG在保持高保真度的同时，对深度量子线路能否实现相比精确模拟的指数级加速？
• RQ4 为何DMRG算法在QAOA线路上的表现显著优于随机量子优越性线路？这反映了线路结构在其中扮演何种角色？
• RQ5 DMRG模拟的保真度是否与实际量子硬件相当？能否复现谷歌优越性实验等关键实验基准？

主要发现

• DMRG算法在单核上复现了谷歌量子优越性线路的比特串统计特性，其保真度与原始实验相当。
• 对于QAOA线路，DMRG方法相比随机线路将错误率降低了100倍，表明保真度对线路结构具有显著依赖性。
• 在混沌极限下，DMRG模拟的保真度满足F(χ) ≈ 4χ / 2^{N/2}，比最坏情况下的均匀奇异值分布提升四倍。
• 奇异值谱遵循非均匀缩放律Sμ ∝ 2−N/4g(μ/2N/2)，其中g(x) = 2cos(½A⁻¹(πx))，解释了结构化线路性能提升的原因。
• 梅特罗波利斯采样实现了约70%的平均接受率，每接受一个比特串仅需约1.5个振幅。
• 当N较大时，算法保真度在log(2)/D处趋于平台，表明存在与线路深度D相关的根本限制，而非量子比特数量。