[论文解读] A Derivative-Free Approach to Total Variation Regularization

Carsten Pontow, Otmar Scherzer|ArXiv.org|Nov 6, 2009

Numerical methods in inverse problems参考文献 12被引用 3

一句话总结

本文通过利用最近关于总变差（TV）半范数的非局部双重积分表征，提出了一种无导数的总变差正则化方法。它证明了逼近泛函序列的极小化器收敛于原始TV正则化泛函的极小化器，从而启发出新的数值算法，并揭示了与双边滤波之间的联系。

ABSTRACT

The goal of this paper is to present a novel approach for total variation regularization and Sobolev minimization, which are prominent tools for variational imaging. Thereby we use derivative free characterizations of the total variation semi-norm and Sobolev semi-norms of functions recently derived by Bourgain, Brézis, Mironescu and Dávila. Their analysis is to approximate the semi-norms of a function by singular integral operators. With this characterization we derive a series of novel regularization methods for total variation minimization which have as a novel feature a non-local double integral regularization term.

研究动机与目标

• 开发一种新颖的无导数框架，用于总变差正则化，利用最近关于TV半范数的积分表征。
• 分析基于奇异积分算子的一系列逼近泛函的变分收敛性。
• 推导出避免显式计算导数的TV最小化新数值方案。
• 阐明现有数值方法的分析基础，并揭示其与双边滤波的联系。
• 将该方法扩展至Sobolev空间，并为不依赖测度可微性的正则化提供函数空间设定。

提出的方法

• 利用涉及差分商和单位逼近核的双重积分，对TV半范数和Sobolev (1,p)-半范数进行无导数表征。
• 定义正则化泛函 $ \mathcal{R}_n^p(f) = \int_\Omega \int_\Omega \frac{|f(x)-f(y)|^p}{|x-y|^p} \varphi_n(x-y) \,dx\,dy $，其中 $ \varphi_n $ 为径向对称、非负，并收敛于原点的Dirac delta函数。
• 构造逼近泛函 $ \mathcal{F}_n^p(f) = \frac{1}{2}\int_\Omega (f - f^\delta)^2 \,dx + \frac{\alpha}{K_{p,N}} \mathcal{R}_n^p(f) $，当 $ n \to \infty $ 时，其收敛于原始TV或Sobolev泛函。
• 证明每个 $ \mathcal{F}_n^p $ 存在唯一极小化器，且极小化器序列收敛于极限泛函 $ \mathcal{F}^p $ 的极小化器。
• 显式计算了在网格上分段常数函数的 $ \mathcal{R}_n^1(f) $，得到以相邻像素值绝对差表示的表达式。
• 将该方法应用于径向与非径向核（如正方形上的均匀核），推导出正则化项的闭式表达式。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否仅使用积分算子而不依赖导数来逼近总变差半范数？
• RQ2 逼近泛函 $ \mathcal{F}_n^p $ 的极小化器是否收敛于原始TV或Sobolev泛函的极小化器？
• RQ3 对于分段常数图像，非局部双重积分正则化项的解析结构是什么？
• RQ4 不同核函数（径向与非径向）如何影响所得正则化泛函？
• RQ5 该框架能否解释或统一现有的数值方法，如双边滤波？

主要发现

• 逼近泛函 $ \mathcal{F}_n^p $ 的极小化器序列 $ f_n $ 收敛于原始泛函 $ \mathcal{F}^p $ 的唯一极小化器，从而确立了变分收敛性。
• 对于径向核，$ \mathcal{R}_n^1(f) $ 的结果为 $ \frac{1}{3\pi n} \left( \sum_{i=2}^n \sum_{j=2}^n |a_{i,j} - a_{i-1,j-1}| + \cdots \right) $，并显式给出了横向与对角邻居的系数。
• 对于在 $ (-1/n, 1/n)^2 $ 上的均匀核，$ \mathcal{R}_n^1(f) $ 的结果为 $ \frac{1}{3} \frac{\sqrt{2}-1}{n} \sum |a_{i,j} - a_{i-1,j-1}| + \frac{1}{12} \frac{3\ln(\sqrt{2}+1) - 3\ln(\sqrt{2}-1) - 2(\sqrt{2}-1)}{n} \sum |a_{i,j} - a_{i,j-1}| $。
• 证明了正则化项 $ \mathcal{R}_n^1(f) $ 在极限下等价于双边滤波操作，从而在TV去噪与非局部滤波之间建立了理论联系。
• 该方法使得TV最小化无需依赖总变差测度的可微性，从而实现了纯粹的函数空间表述。
• 在 $ \Omega $ 和 $ f^\delta $ 的标准假设下，证明了逼近泛函的收敛性，且对所有 $ n $，$ \mathcal{F}_n^p $ 均有唯一极小化器。