[论文解读] A Derived Decomposition for Equivariant $D$-modules

Sam Gunningham|arXiv (Cornell University)|May 11, 2017

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 16被引用 8

一句话总结

本文建立了李代数 $\mathfrak{g}$ 上等变 $D$-模的导出范畴的正交分解，其索引为 Lusztig 意义下的 cuspidal 数据 $(L,\mathcal{E})$。它构造了一个微分分次代数 $\mathbf{A}$ 来控制每个块，该代数源于广义 Steinberg 簇的相对 Borel-Moore 同调，并携带一个非分裂的 Mackey 分次，揭示了‘三重仿射’ Hecke 代数结构，该结构推广了关于 perverse 范畴与整体 $D$-模的早期结果。

ABSTRACT

We show that the adjoint equivariant derived category of $D$-modules on a reductive Lie algebra $\mathfrak{g}$ carries an orthogonal decomposition in to blocks indexed by cuspidal data (in the sense of Lusztig). Each block admits a monadic description in terms a certain monad related to the homology of Steinberg varieties; this monad carries a filtration (the Mackey filtration) whose associated graded functor is given by the action of the relative Weyl group. Furthermore, we show that the Mackey filtration is generally non-split and thus the Springer-theoretic description of the entire equivariant derived category of $D$-modules appears to be substantially more subtle than either the case of the abelian category in earlier work of the author, or the derived category of nilpotent orbital sheaves in work of Rider and Russell. One notable feature of this setting is that the parabolic induction and restriction functors depend on the choice of parabolic subgroup containing a given Levi factor.

研究动机与目标

• 将广义 Springer 对应关系从 $\mathfrak{g}$ 的幂零锥上的构造层范畴推广到等变 $D$-模的完整导出范畴。
• 通过以 cuspidal 數據索引的块分解，理解 $\mathbf{D}_{\text{coh}}(\mathfrak{g})^G$，即 $\mathfrak{g}$ 上的凝聚等变 $D$-模的导出范畴的结构。
• 构造一个微分分次代数 $\mathbf{A}$ 来控制每个块，推广在阿贝尔与构造情形下已知的描述。
• 通过证明 $\mathbf{A}$ 上的 Mackey 分次在 $L \neq G$ 时不分裂，阐明全局主从的代数复杂性。

提出的方法

• 利用广义 Springer 对应关系与 cuspidal 數據 $(L,\mathcal{E})$，在 $\mathbf{D}_{\text{coh}}(\mathfrak{g})^G$ 中对正交块进行索引。
• 将 dg-代数 $\mathbf{A}_{(P,L,\mathcal{E})}$ 构造为 $\mathfrak{D}_{\mathfrak{z}} \boxtimes \mathcal{E}$ 在 $\mathfrak{z} \times \mathcal{N}_L$ 上的抛物诱导的导出自同态代数。
• 将 $\mathbf{A}$ 几何地实现为与 $(P,L,\mathcal{E})$ 相关的 Steinberg 型簇的相对等变 Borel-Moore 同调。
• 在 $\mathbf{A}$ 上建立一个以相对 Weyl 群 $W_{(G,L)}$ 索引的 $\underline{\mathfrak{D}}_{\mathfrak{z}}$-双模上的 Mackey 分次。
• 应用 Barr-Beck-Lurie 定理，将块 $\mathbf{D}_{\text{coh}}(\mathfrak{g})^G_{(L,\mathcal{E})}$ 实现为完美 $\mathbf{A}$-模的范畴。
• 证明当 $L \neq G$ 时，Mackey 分次不分裂，表明其代数结构超越了朴素的‘三重仿射’ Hecke 代数。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将 $\mathfrak{g}$ 上等变 $D$-模的导出范畴分解为以 cuspidal 數據索引的块？
• RQ2 控制导出范畴中每个块的代数结构是什么？
• RQ3 控制块的主从如何与 Steinberg 簇和相对 Weyl 群的几何结构相关联？
• RQ4 为何对‘三重仿射’ Hecke 代数的朴素猜测无法描述块的完整结构？
• RQ5 Mackey 分次在揭示控制块的主从的非分裂性方面起什么作用？

主要发现

• 导出范畴 $\mathbf{D}_{\text{coh}}(\mathfrak{g})^G$ 允许一个正交分解，其块由 cuspidal 數據 $(L,\mathcal{E})$ 索引，且不同块中对象之间的 $\operatorname{Ext}$-群为零。
• 每个块 $\mathbf{D}_{\text{coh}}(\mathfrak{g})^G_{(L,\mathcal{E})}$ 同构于微分分次代数 $\mathbf{A}_{(P,L,\mathcal{E})}$ 的完美模范畴，该代数控制了抛物诱导与限制的主从。
• $\mathbf{A}$ 作为 $\underline{\mathfrak{D}}_{\mathfrak{z}}$-双模具有一个分次，其分次化同构于 $\underline{\mathfrak{D}}_{\mathfrak{z}} \otimes \mathbb{C}[W_{(G,L)}]$，反映了相对 Weyl 群的作用。
• 当 $L \neq G$ 时，$\mathbf{A}$ 上的 Mackey 分次作为 $\underline{\mathfrak{D}}_{\mathfrak{z}}$-双模不分裂，表明其代数结构在阿贝尔或构造情形之外具有非平凡性。
• 当 $L = G$ 时，dg-代数 $\mathbf{A}$ 退化为 $\underline{\mathfrak{D}}_{\mathfrak{z}(\mathfrak{g})}$，从而恢复了在 cuspidal 情形下已知的块描述。
• $\mathbf{A}$ 几何地实现为广义 Steinberg 簇的相对 Borel-Moore 同调，将代数结构与等变同调代数联系起来。