[论文解读] A derived isometry theorem for constructible sheaves on $\mathbb{R}$

Nicolas Berkouk, Rafael J. L. Morcillo|arXiv (Cornell University)|May 24, 2018

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 18被引用 5

一句话总结

本文建立了实直线上构造层的导出等距定理，证明了有界层的导出范畴中的卷积距离等距于分等级条形码上的匹配距离。通过显式计算态射并改编Bjerkevik的稳定性证明，作者表明层论不变量可被组合化且稳定处理，将单参数持久性推广至导出范畴，并通过匈牙利算法实现算法可计算性。

ABSTRACT

Persistent homology has been recently studied with the tools of sheaf theory in the derived setting by Kashiwara and Schapira, after J. Curry has made the first link between persistent homology and sheaves. We prove the isometry theorem in this derived setting, thus expressing the convolution distance of sheaves as a matching distance between combinatorial objects associated to them that we call graded barcodes. This allows to consider sheaf-theoretical constructions as combinatorial, stable topological descriptors of data, and generalizes the situation of persistence with one parameter. To achieve so, we explicitly compute all morphisms in $D^b_{\mathbb{R} c}( extbf{k}_\mathbb{R})$, which enables us to compute distances between indecomposable objects. Then we adapt Bjerkevik's stability proof to this derived setting. As a byproduct of our isometry theorem, we prove that the convolution distance is closed, give a precise description of connected components of $D^b_{\mathbb{R} c}( extbf{k}_\mathbb{R})$and provide some explicit examples of computation of the convolution distance.

研究动机与目标

• 将单参数持久性理论推广至R上构造层的导出范畴。
• 在D^b_{Rc}(k_R)中的卷积距离与分等级条形码上的组合匹配距离之间建立等距关系。
• 利用层论构造，为噪声数据提供一种稳定且可计算的拓扑描述符。
• 证明卷积距离的闭性，并描述导出范畴的连通分支。

提出的方法

• 显式计算D^b_{Rc}(k_R)中的所有态射，以分析不可约对象及其距离。
• 引入分等级条形码作为与层相关联的组合不变量。
• 将Bjerkevik的稳定性证明改编至导出范畴，以建立交错稳定性。
• 定义从分等级条形码范畴到D^b_{Rc}(k_R)的全忠实函子，通过Krull-Schmidt定理证明其等价性。
• 利用卷积距离及其与瓶颈距离的等距关系，实现算法计算。
• 利用匈牙利算法计算条形码间的最优匹配，将距离计算转化为组合优化问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 R上构造层的导出范畴中的卷积距离能否表示为组合不变量上的匹配距离？
• RQ2 配备卷积距离的导出范畴D^b_{Rc}(k_R)是否与配备瓶颈型距离的分等级条形码范畴等距？
• RQ3 导出等距定理是否意味着层论不变量在数据的微小扰动下保持稳定？
• RQ4 导出范畴的拓扑结构如何，特别是其连通分支？
• RQ5 能否使用组合匹配算法高效计算卷积距离？

主要发现

• 导出等距定理建立了D^b_{Rc}(k_R)上的卷积距离d_C与分等级瓶颈距离d_B在分等级条形码范畴上的等距关系。
• 卷积距离是闭的，即该距离函数在范畴的紧致子集上能取得下确界。
• D^b_{Rc}(k_R)的连通分支恰好是对象的同构类，且在d_B度量下每个分支均为道路连通。
• 分等级条形码范畴是骨架的，即同构的条形码彼此相等，且从条形码到D^b_{Rc}(k_R)的函子ι是等价的。
• 导出等距关系使得可利用匈牙利算法在多项式时间内计算距离，从而实现实际计算。
• 该等距关系意味着层论不变量在小扰动下保持稳定，推广了持久同调的经典稳定性定理。