[论文解读] A description of all solutions of the matrix Hamburger moment problem in a general case

Sergey M‎. ‎Zagorodnyuk|ArXiv.org|Oct 20, 2009

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 7被引用 11

一句话总结

本文在一般情况下，通过自伴算子的广义预解式和算子理论方法，完整刻画了矩阵哈梅尔伯格矩问题的所有解。在温和的可解性条件下，建立了解与一类可允许函数类中算子函数之间的一一对应关系，将先前在完全不确定和非退化情况下的结果推广到问题的完整一般性。

ABSTRACT

We describe all solutions of the matrix Hamburger moment problem in a general case (no conditions besides solvability are assumed). We use the fundamental results of A.V. Shtraus on the generalized resolvents of symmetric operators. All solutions of the truncated matrix Hamburger moment problem with an odd number of given moments are described in an "almost nondegenerate" case. Some conditions of solvability for the scalar truncated Hamburger moment problem with an even number of given moments are given.

研究动机与目标

• 在缺陷数或不确定情况无限制的一般情况下，提供矩阵哈梅尔伯格矩问题所有解的完整描述。
• 通过纳入任意可解性条件，将先前仅限于完全不确定或非退化情况的结果加以扩展。
• 在右半平面中，建立截断矩阵哈梅尔伯格矩问题的解与一类算子函数之间的一一对应关系。
• 为具有偶数个矩的标量截断哈梅尔伯格矩问题，推导出一个简单且代数化的可解性判别准则。
• 统一并推广先前使用广义预解式、再生核希尔伯特空间和矩阵正交多项式的方法。

提出的方法

• 利用 A.V. Shtraus 关于具有任意亏指数的自伴算子广义预解式的结果，对解进行参数化。
• 在 $ \Gamma_{d-1} > 0 $，$ \Gamma_d \geq 0 $ 条件下，利用矩矩阵 $ \Gamma_d $ 从矩序列 $ \{S_n\} $ 构造一个对称算子 $ A $。
• 建立解 $ M(x) $ 与算子函数 $ F(\lambda) \in K_a(A; \mathbb{C}_+; N_i, N_{-i}) $ 之间的一一对应关系，后者是一类解析算子函数，将上半平面映射到收缩算子的集合。
• 通过史蒂尔杰斯反演公式推导解：$ \int_{\mathbb{R}} \frac{1}{x - \lambda} dm_{k,j}(x) = \left( (A_{F(\lambda)} - \lambda E_H)^{-1} x_k, x_j \right)_H $，其中 $ \lambda \in \mathbb{C}_+ $。
• 应用再生核希尔伯特空间理论和算子模型，对解空间进行刻画。
• 在标量情况下，基于矩矩阵 $ \Gamma_n $ 的秩和定性，推导出可解性判别准则，特别处理 $ \Gamma_d > 0 $ 或 $ \Gamma_d $ 奇异但 $ \Gamma_r > 0 $（$ r < d $）的情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 在一般可解性条件下，矩阵哈梅尔伯格矩问题的完整解集是什么？
• RQ2 所有解如何通过上半平面中的算子函数进行参数化？
• RQ3 具有偶数个矩的标量截断哈梅尔伯格矩问题的可解性的充要条件是什么？
• RQ4 本研究如何推广先前在完全不确定和非退化情况下的工作？
• RQ5 是否可以利用具有任意亏指数的自伴算子广义预解式，完全描述解空间？

主要发现

• 所有矩阵哈梅尔伯格矩问题的解均由算子函数 $ F(\lambda) \in K_a(A; \mathbb{C}_+; N_i, N_{-i}) $ 参数化，建立了唯一对应关系。
• 在 $ \Gamma_{d-1} > 0 $，$ \Gamma_d \geq 0 $ 条件下，截断矩阵哈梅尔伯格矩问题的所有解均由涉及关联算子 $ A_{F(\lambda)} $ 预解式的史蒂尔杰斯型积分公式给出。
• 在具有偶数个矩的标量情况下，解存在的充要条件是：所有矩为零，或 $ \Gamma_d > 0 $，或 $ \Gamma_r > 0 $，$ \det\Gamma_{r+1} = 0 $，且对应多项式具有实数相异根且跳跃权重非负。
• 当 $ \Gamma_d > 0 $ 时，解唯一，且对应于在 $ d+1 $ 个不同点上具有正测度的表示。
• 当 $ \Gamma_r > 0 $，$ \Gamma_{r+1} $ 奇异，且对应多项式 $ p(x) $ 具有实数相异根时，解存在且唯一的充要条件是跳跃权重线性方程组有非负解。
• 在所有矩为零的情况和 $ \Gamma_d > 0 $ 的情况下，解唯一；而在 $ r < d $ 的奇异情况下，唯一性仅当跳跃权重线性系统有非负解时成立。