[论文解读] A desingularization of Kontsevich's compactification of twisted cubics in $V_5$

Kiryong Chung|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 32被引用 5

一句话总结

本文通过从辛普森模空间出发的一系列加权爆破，构造了 Kontsevich 在 del Pezzo 3- fold $V_5$ 中的扭三次曲线紧化空间的去奇异化。关键结果是，所得空间诱导出 Kontsevich 原始空间的交点上同调，其显式 Poincaré 多项式为 $1+3t^2+8t^4+10t^6+8t^8+3t^{10}+t^{12}$，证实其作为具有有理奇点的最小解消模型的角色。

ABSTRACT

By definition, the del Pezzo $3$-fold $V_5$ is the intersection of $\\mathrm{Gr}(2,5)$ with three hyperplanes in $\\mathbb{P}^9$ under the Pl\\"ucker embedding. Rational curves in $V_5$ have been studied in various contents of Fano geometry. In this paper, we propose an explicit birational relation of the Kontsevich and Simpson compactifications of twisted cubic curves in $V_5$. As a direct corollary, we obtain a desingularized model of Kontsevich compactification which induces the intersection cohomology group of Kontsevich's space.

研究动机与目标

• 解决 Kontsevich 在 del Pezzo 3- fold $V_5$ 中的扭三次曲线紧化空间的奇点问题，该空间不满足标准比较条件。
• 在缺乏通常几何条件的情况下，建立辛普森与 Kontsevich 紧化空间之间的双有理等价关系。
• 构造 Kontsevich 空间的去奇异化模型，使其通过小解消实现其交点上同调。
• 利用动机与双有理技术计算 Kontsevich 模空间的交点上同调 Poincaré 多项式。

提出的方法

• 从不可约的辛普森模空间 $\mathbf{S}(V_5,3)$ 出发，通过结构层的逆像推送，构造到 Kontsevich 空间 $\mathbf{M}(V_5,3)$ 的双有理映射。
• 通过两次加权爆破实现去奇异化：首先沿 $\bar{\Theta}_1$，然后沿 $\bar{\Theta}_2$，且满足 $\bar{\Theta}_1 \subset \bar{\Theta}_2$。
• 证明中心 $\bar{\Theta}_1$ 与 $\bar{\Theta}_2$ 均为光滑流形，且 $\bar{\Theta}_1 \cong \mathbb{P}^1$，$\bar{\Theta}_2 \cong \mathrm{Fl}(1,2;\mathbb{C}^3)$。
• 例外除子被描述为加权射影丛：在 $\mathrm{bl}_{\mathbb{P}^1}\mathrm{Fl}(1,2;\mathbb{C}^3)$ 上的 $\mathbb{P}_{(1,2,2)}^2$-丛，以及在 $\bar{\Theta}_1$ 上的 $\mathbb{P}_{(1,2,2,3,3)}^4$-丛。
• 证明双有理态射 $\widetilde{\Psi}^I$ 是小的，从而保证解消的虚拟 Poincaré 多项式等于目标空间的交点 Poincaré 多项式。
• 最终通过动机性质与已知的格拉斯曼流形及加权射影空间的公式计算出 Poincaré 多项式。

实验结果

研究问题

• RQ1 当标准比较条件不成立时，能否构造 Kontsevich 在 $V_5$ 中的扭三次曲线紧化空间的去奇异化？
• RQ2 是否存在一个从辛普森到 Kontsevich 的模空间之间关于 $V_5$ 中扭三次曲线的双有理映射，能同时解决奇点问题？
• RQ3 所得解消是否诱导出原始 Kontsevich 空间的交点上同调？
• RQ4 空间 $\mathbf{M}(V_5,3)$ 的交点上同调 Poincaré 多项式的显式形式为何？

主要发现

• 空间 $\mathbf{M}(V_5,3)$ 不是不可约的，包含两个分支：光滑扭三次曲线的闭包，以及关于直线希尔伯特纲的相对稳定映射空间。
• 辛普森空间 $\mathbf{S}(V_5,3)$ 是不可约的，且同构于 $\mathrm{Gr}(2,5)$，且由于 $V_5$ 的二次定义方程，有 $\mathcal{H}(V_5,3) \cong \mathcal{S}(V_5,3)$。
• 在二次锥面上的三重直线的闭包 $\bar{\Theta}_1$ 同构于 $\mathbb{P}^1$，而直线对的闭包 $\bar{\Theta}_2$ 同构于旗流形 $\mathrm{Fl}(1,2;\mathbb{C}^3)$。
• 第一次爆破的例外除子是 $\mathrm{bl}_{\mathbb{P}^1}\mathbb{P}_{(1,2,2,3,3)}^4$-丛，其底空间为 $\bar{\Theta}_1$；第二次爆破的例外除子是 $\mathbb{P}_{(1,2,2)}^2$-丛，其底空间为 $\bar{\Theta}_2$ 沿 $\bar{\Theta}_1$ 的爆破。
• 双有理映射 $\widetilde{\Psi}^I$ 是小的，因此解消的虚拟 Poincaré 多项式等于 $\mathbf{M}(V_5,3)$ 的交点 Poincaré 多项式。
• 空间 $\mathbf{M}(V_5,3)$ 的交点上同调 Poincaré 多项式为 $1+3t^2+8t^4+10t^6+8t^8+3t^{10}+t^{12}$。