[论文解读] A Deterministic Algorithm for Computing the Weight Distribution of Polar Codes

Hanwen Yao, Arman Fazeli+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 15, 2021

Error Correcting Code Techniques参考文献 15被引用 5

一句话总结

本论文提出了一种确定性算法，用于计算长度至128的极化码的精确重量分布。通过推导沿任意译码路径计算极化陪集重量分布的递归过程，并利用递减单项式码的自同构群——特别是分块下三角仿射群——将指数级复杂度降低至可处理水平，从而实现了对如(128,64)极化码和(128,64) Reed-Muller码等码的精确计算。

ABSTRACT

In this work, we present a deterministic algorithm for computing the entire weight distribution of polar codes. As the first step, we derive an efficient recursive procedure to compute the weight distribution that arises in successive cancellation decoding of polar codes along any decoding path. This solves the open problem recently posed by Polyanskaya, Davletshin, and Polyanskii. Using this recursive procedure, at code length n, we can compute the weight distribution of any polar cosets in time O(n^2). We show that any polar code can be represented as a disjoint union of such polar cosets; moreover, this representation extends to polar codes with dynamically frozen bits. However, the number of polar cosets in such representation scales exponentially with a parameter introduced herein, which we call the mixing factor. To upper bound the complexity of our algorithm for polar codes being decreasing monomial codes, we study the range of their mixing factors. We prove that among all decreasing monomial codes with rates at most 1/2, self-dual Reed-Muller codes have the largest mixing factors. To further reduce the complexity of our algorithm, we make use of the fact that, as decreasing monomial codes, polar codes have a large automorphism group. That automorphism group includes the block lower-triangular affine group (BLTA), which in turn contains the lower-triangular affine group (LTA). We prove that a subgroup of LTA acts transitively on certain subsets of decreasing monomial codes, thereby drastically reducing the number of polar cosets that we need to evaluate. This complexity reduction makes it possible to compute the weight distribution of polar codes at length n = 128.

研究动机与目标

• 解决在任意逐次消除译码路径上高效计算极化码重量分布的开放问题。
• 实现对长度128的极化码的完整重量分布的精确计算，其中暴力枚举方法已失效。
• 通过利用递减单项式码中的代数对称性，降低陪集枚举的指数级复杂度。
• 为极化码和自偶Reed-Muller码建立混合因子的界限，该参数是决定所需陪集数量的关键参数。
• 证明可通过基于对称性的复杂度约化，实现对长度128的所有递减单项式码的精确重量分布计算。

提出的方法

• 开发一种递归方法，用于计算在任意译码路径上逐次消除译码过程中产生的极化陪集的重量生成函数。
• 将任意极化码表示为互不相交的极化陪集的并集，从而通过累加各陪集分布重建完整的重量分布。
• 引入混合因子的概念，用于量化分解过程中陪集数量的指数增长。
• 利用递减单项式码的自同构群，特别是分块下三角仿射群（BLTA），识别等价陪集。
• 证明下三角仿射群（LTA）的子群在某些陪集子集上作用传递，从而显著减少需评估的不同陪集数量。
• 应用对称性约化，将(128,64)极化码的所需陪集计算数从$2^{34}$减少至约$2^{25.23}$，将(128,64) Reed-Muller码的计算数从$2^{49}$减少至$2^{35.53}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在暴力枚举方法失效的长度128以内，对极化码的重量分布实现精确计算？
• RQ2 是否存在一种递归方法，用于计算沿任意译码路径（而不仅全零路径）的极化陪集的重量分布？
• RQ3 在长度128、速率≤1/2的递减单项式码中，混合因子的最大值是多少？该值如何限制算法的复杂度？
• RQ4 能否利用递减单项式码的自同构群，减少在重量分布计算中需评估的陪集数量？
• RQ5 下三角仿射群的对称性是否能对陪集的子集实现传递作用，从而显著降低计算复杂度？

主要发现

• 精确计算了基于5G可靠性序列构造的(128,64)极化码的重量分布，结果在笔记本电脑上耗时不足两小时。
• 通过使用对称性约化，需评估的极化陪集数量从$2^{34}$减少至约$2^{25.23}$，使计算成为可行。
• (128,64) Reed-Muller码是长度128、速率≤1/2的递减单项式码中混合因子最大（49）的码，其陪集数量从$2^{49}$减少至$2^{35.53}$。
• 自偶(128,64) Reed-Muller码在该类码中具有最高的混合因子，而该算法对其仍保持计算可行性。
• 该算法表明，通过约化对称性后，长度128的任意递减单项式码的重量分布均可计算，因为约化后的陪集数量始终低于$2^{36}$。
• 该算法实现了对长度128极化码完整重量分布的精确计算，解决了编码理论中长期存在的开放问题。