[论文解读] A Deterministic Approximation Algorithm for Computing a Permanent of a 0,1 matrix

David Gamarnik, Dmitriy Katz|ArXiv.org|Feb 2, 2007

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 8被引用 4

一句话总结

该论文提出了一种确定性近似算法，可在乘法因子 $(1+\epsilon)^n$ 内计算 0-1 矩阵的永久值。该算法利用了用于计数部分匹配的确定性算法以及 Jerrum-Vazirani 扩展图分解方法，在常数度扩展图情况下达到多项式时间复杂度，在一般矩阵情况下达到 $\exp(O(n^{2/3}\log^3 n))$ 时间复杂度。

ABSTRACT

We construct a deterministic approximation algorithm for computing a permanent of a $0,1$ $n$ by $n$ matrix to within a multiplicative factor $(1+ε)^n$, for arbitrary $ε>0$. When the graph underlying the matrix is a constant degree expander our algorithm runs in polynomial time (PTAS). In the general case the running time of the algorithm is $\exp(O(n^{2\over 3}\log^3n))$. For the class of graphs which are constant degree expanders the first result is an improvement over the best known approximation factor $e^n$ obtained in \cite{LinialSamorodnitskyWigderson}. Our results use a recently developed deterministic approximation algorithm for counting partial matchings of a graph Bayati et al., and Jerrum-Vazirani decomposition method.

研究动机与目标

• 在 $\#P$-完全设定下，弥合随机化与确定性算法在永久值计算之间的差距。
• 提供一种优于 [LSW00] 中 $e^n$ 边界的新乘法因子的确定性近似算法。
• 通过部分匹配与扩展图分解，将确定性计数技术的应用范围扩展至永久值计算。
• 在底层图为常数度扩展图的矩阵上，实现多项式时间近似。

提出的方法

• 该算法将永久值计算归约为图中所有部分匹配与完整匹配的划分函数估计。
• 使用 [BGK+] 中的确定性近似算法来计数部分匹配，该算法在常数度图上运行时间为多项式时间。
• 对于一般图，应用 Jerrum-Vazirani 扩展图分解方法，递归地将图划分为扩展图与非扩展图。
• 通过递归组合子图的近似值来估计永久值，所有递归调用中均使用乘法因子 $(1+\epsilon)^n$。
• 通过递归分析限制运行时间，利用二项式系数与递归子问题规模的界，证明 $g(n) \leq \exp(O(n^{2/3}\log^3 n))$。
• 通过在所有递归子问题中保持界限并以乘法方式组合结果，确保近似因子为 $(1+\epsilon)^n$。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计一种确定性算法，使 0-1 矩阵永久值的乘法近似因子优于 $e^n$？
• RQ2 当底层图为常数度扩展图时，是否可能实现永久值的多项式时间近似？
• RQ3 如何将用于部分匹配的确定性计数技术扩展至永久值的近似计算？
• RQ4 能否利用扩展图分解设计出适用于一般 0-1 矩阵的确定性近似算法？
• RQ5 在确定性环境下，永久值计算的近似因子与运行时间之间最优权衡为何？

主要发现

• 对于常数度扩展图，该算法在多项式时间内实现了 $(1+\epsilon)^n$ 的乘法近似。
• 对于一般 0-1 矩阵，该算法在 $\exp(O(n^{2/3}\log^3 n))$ 时间内实现了相同的 $(1+\epsilon)^n$ 近似因子。
• 运行时间对 $\epsilon$ 的依赖为 $\exp(O(\epsilon^{-1/2}))$，在 $n$ 上为次指数时间，但并非完全多项式。
• 该算法在扩展图上的近似因子优于 [LSW00] 的 $e^n$，对固定的 $\epsilon > 0$ 显著更优。
• 递归分解策略确保了子问题间整体近似因子保持乘法性质。
• 分析依赖于对二项式系数与递归子问题规模的界，最终证明了运行时间的 $\exp(O(n^{2/3}\log^3 n))$ 上界。