[论文解读] A deterministic polynomial time algorithm for non-commutative rational identity testing

Ankit Garg, Leonid Gurvits+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 11, 2015

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 48被引用 17

一句话总结

本文提出了首个用于在非交换变量上测试符号矩阵可逆性的确定性多项式时间算法，解决了长期存在的开放性问题。通过分析Gurvits的算法并加以扩展，该方法高效地解决了非交换有理恒等式测试、自由斜域中的字问题以及非交换矩阵秩的计算问题，实现了对交换秩的2倍近似。

ABSTRACT

In this paper we present a deterministic polynomial time algorithm for testing if a symbolic matrix in {\emph non-commuting} variables over $\mathbb{Q}$ is invertible or not. The analogous question for commuting variables is the celebrated polynomial identity testing (PIT) for symbolic determinants. In contrast to the commutative case, which has an efficient probabilistic algorithm, the best previous algorithm for the non-commutative setting required exponential time [IQS15] (whether or not randomization is allowed). The algorithm efficiently solves the word for the free skew field, and the identity testing problem for arithmetic formulae with division over non-commuting variables, two problems which had only exponential-time algorithms prior to this work. The main (and simple) technical contribution of this paper is an analysis of an existing algorithm due to Gurvits which solved the same problem in some special cases. We also extend the algorithm to compute the (non-commutative) rank of a symbolic matrix, yielding a factor 2 approximation on the commutative rank. Symbolic matrices in non-commuting variables, and the related structural and algorithmic questions, have a remarkable number of diverse origins and motivations. They arise independently in (commutative) invariant theory and representation theory, linear algebra, optimization, linear system theory, quantum information theory, approximation of the permanent and naturally in non-commutative algebra. We provide a detailed account of some of these sources and their interconnections. In particular we explain how some of these sources played an important role in the development of Gurvits' algorithm and in our analysis of it here.

研究动机与目标

• 为在ℚ上非交换变量中的符号矩阵可逆性测试开发一个确定性多项式时间算法。
• 解决非交换有理恒等式测试问题，该问题此前缺乏高效的确定性解法。
• 将算法扩展以计算符号矩阵的非交换秩，为交换秩提供2倍近似。
• 统一并分析非交换矩阵问题背后来自不变量理论、量子信息、线性代数和优化等领域的多样化动机。
• 对Gurvits算法进行严格分析，将其适用范围扩展至先前特殊情形之外的更广泛情境。

提出的方法

• 改编并分析Gurvits原有的算法，该算法最初仅在受限条件下有效，现扩展用于处理一般符号矩阵在非交换变量上的情形。
• 采用基于秩的方法，通过计算矩阵的非交换秩来判断其可逆性。
• 利用自由斜域的结构，将恒等式测试问题转化为矩阵秩的计算问题。
• 应用线性代数和非交换代数的技术，确保算法具有确定性多项式时间复杂度。
• 将算法扩展至处理含非交换变量除法的算术公式，解决了该情形下的恒等式测试问题。
• 建立非交换矩阵秩与交换秩之间的联系，从而为后者提供2-近似。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为非交换变量中的符号矩阵设计一个非交换有理恒等式测试的确定性多项式时间算法？
• RQ2 在自由斜域中求解字问题的计算复杂度是多少？能否高效求解？
• RQ3 如何在多项式时间内计算符号矩阵的非交换秩？
• RQ4 非交换矩阵问题与其他领域（如量子信息和不变量理论）之间存在何种联系？
• RQ5 Gurvits的算法能否被推广并严格分析，超越其原始适用范围？

主要发现

• 本文提出了首个用于非交换有理恒等式测试的确定性多项式时间算法，解决了重大开放性问题。
• 该算法高效解决了自由斜域中的字问题，此前该问题需要指数时间。
• 它在多项式时间内计算出符号矩阵的非交换秩，并为交换秩提供了2倍近似。
• 该方法可扩展至含非交换变量除法的算术公式恒等式测试，解决了此前无高效解法的问题。
• 对Gurvits算法的分析揭示了其更广泛的应用潜力，并为其在非交换环境中的成功提供了理论依据。
• 该工作建立了非交换代数与量子信息、优化、不变量理论等多个领域之间的深刻联系。