[论文解读] A development of Lagrange interpolation, Part I: Theory

Mehdi Delkhosh, Kourosh Parand+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 27, 2019

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 18被引用 5

一句话总结

本文提出了一种新型谱方法——发展拉格朗日插值法（DLI），用于求解线性和非线性多维微分方程。通过定义一类新的函数——发展拉格朗日函数（DLFs），使其在配点处满足克罗内克函数性质，该方法实现了高阶导数的运算矩阵，并基于复围线积分建立了误差分析，实现了指数收敛性，且在无界域和奇异问题中具有高度灵活性。

ABSTRACT

In this work, we introduce the new class of functions which can use to solve the nonlinear/linear multi-dimensional differential equations. Based on these functions, a numerical method is provided which is called the Developed Lagrange Interpolation (DLI). For this, firstly, we define the new class of the functions, called the Developed Lagrange Functions (DLFs), which satisfy in the Kronecker Delta at the collocation points. Then, for the DLFs, the first-order derivative operational matrix of $ extbf{D}^{(1)}$ is obtained, and a recurrence relation is provided to compute the high-order derivative operational matrices of $ extbf{D}^{(m)}$, $m\in \mathbb{N}$; that is, we develop the theorem of the derivative operational matrices of the classical Lagrange polynomials for the DLFs and show that the relation of $ extbf{D}^{(m)}=( extbf{D}^{(1)})^{m}$ for the DLFs is not established and is developable. Finally, we develop the error analysis of the classical Lagrange interpolation for the developed Lagrange interpolation. Finally, for demonstrating the convergence and efficiency of the DLI, some well-known differential equations, which are applicable in applied sciences, have been investigated based upon the various choices of the points of interpolation/collocation.

研究动机与目标

• 开发一种新的谱方法，用于求解线性和非线性多维微分方程，以提高精度和效率。
• 定义一类新的基函数——发展拉格朗日函数（DLFs），使其在配点处满足克罗内克函数条件。
• 推导DLFs的导数运算矩阵，从而在谱方法中实现高阶导数的近似。
• 将经典拉格朗日插值的误差分析方法扩展至该新框架，采用复围线积分方法。
• 展示该方法在无界域及具有无穷边界条件问题中的适用性。

提出的方法

• 通过使用满足 $\psi_i(x_j) \neq \psi_i(x_i)$（当 $i \neq j$ 时）且 $\psi_i'(x_i) \neq 0$ 的可微函数 $\psi_i(x)$ 对插值点进行变换，定义发展拉格朗日函数（DLFs）。
• 在配点 $x_i$ 处建立克罗内克函数性质 $L_j^\psi(x_i) = \delta_{ij}$。
• 推导DLFs的一阶导数运算矩阵 $\mathbf{D}^{(1)}$，并为更高阶矩阵 $\mathbf{D}^{(m)}$（$m \in \mathbb{N}$）建立递推关系。
• 证明 $\mathbf{D}^{(m)} = (\mathbf{D}^{(1)})^m$ 不适用于DLFs，表明其与经典拉格朗日多项式存在根本性差异。
• 利用留数理论，为插值函数及其误差项建立复围线积分表示。
• 给出基于围线积分的误差公式：$u_N(x) - u(x) = \frac{1}{N+1}\sum_{j=0}^{N}\frac{1}{2\pi i}\int_{\Gamma}\frac{\psi_j'(t)w^\psi(x)u(t)}{w^\psi(t)(\psi_j(x) - \psi_j(t))}dt$，其中 $\Gamma$ 包含所有 $\psi_j(x_j)$ 和 $\psi_j(x)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一类新的插值函数，使其在保留克罗内克函数性质的同时，实现谱方法中高效导数计算？
• RQ2 新DLFs的导数运算矩阵与经典拉格朗日多项式相比有何不同，特别是在关系 $\mathbf{D}^{(m)} = (\mathbf{D}^{(1)})^m$ 方面？
• RQ3 所发展拉格朗日插值的误差结构如何？能否通过复围线积分表达？
• RQ4 DLI方法能否应用于定义在无界域或具有无穷边界条件的微分方程？
• RQ5 DLI的收敛行为与经典拉格朗日插值相比如何，特别是在指数收敛性方面？

主要发现

• 发展拉格朗日函数（DLFs）在配点处满足克罗内克函数性质 $L_j^\psi(x_i) = \delta_{ij}$，从而支持基于配点的高效微分方程求解。
• 推导出DLFs的一阶导数运算矩阵 $\mathbf{D}^{(1)}$，并为计算更高阶导数矩阵 $\mathbf{D}^{(m)}$（$m \in \mathbb{N}$）建立了递推关系。
• $\mathbf{D}^{(m)} = (\mathbf{D}^{(1)})^m$ 关系不适用于DLFs，表明其在经典拉格朗日多项式基础上实现了非平凡的推广。
• 推导出插值误差的复围线积分表示，表明 $u_N(x) - u(x) = \frac{1}{N+1}\sum_{j=0}^{N}\frac{1}{2\pi i}\int_{\Gamma}\frac{\psi_j'(t)w^\psi(x)u(t)}{w^\psi(t)(\psi_j(x) - \psi_j(t))}dt$，其中 $\Gamma$ 包含所有 $\psi_j(x_j)$ 和 $\psi_j(x)$。
• 该方法支持指数收敛性，且由于 $\psi_i(x)$ 的选择具有灵活性，适用于无界域问题及具有无穷边界条件的问题。
• 所提出的DLI框架实现了鲁棒、全局且无网格的谱方法，计算成本更低，求解多维微分方程时精度更高。