[论文解读] A DG-enhancement of D(QCoh(X)) with applications in deformation theory

Francesco Meazzini|arXiv (Cornell University)|Aug 15, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 19被引用 7

一句话总结

该论文通过与有限仿射开覆盖相关的环的图 A·，为有限维诺特诺埃斯分离概形 X 的导出范畴 D(QCoh(X)) 构造了一个显式的 DG 增强。它提供了三个显式模型来描述准 coherent 层 F 的导出自同态复形，为其配备了 DG-李代数结构，即使在 F 没有局部自由化解析时，也能控制 F 的无穷小形变。关键结果建立了 F 的形变函子 Def_F 与自同态的 DG-李代数的 Maurer-Cartan 函子之间的等价性，将经典结果推广至任意准 coherent 层的情形。

ABSTRACT

It is well-known that DG-enhancements of D(QCoh(X)) are all equivalent to each other, see [23]. Here we present an explicit model which leads to applications in deformation theory. In particular, we shall describe three models for derived endomorphisms of a quasi-coherent sheaf F on a finite-dimensional Noetherian separated scheme (even if F does not admit a locally free resolution). Moreover, these complexes are endowed with DG-Lie algebra structures, which we prove to control infinitesimal deformations of F.

研究动机与目标

• 为有限维诺特诺埃斯分离概形 X 的导出范畴 D(QCoh(X)) 提供一个显式的 DG 增强。
• 即使 F 缺乏局部自由化解析，也构造出准 coherent 层 F 的导出自同态复形 ℝHom(F,F) 的三个显式模型。
• 为这些模型赋予 DG-李代数结构，以控制 F 的无穷小形变。
• 建立形变函子 Def_F 与自同态的 DG-李代数的 Maurer-Cartan 函子之间的等价性，将经典结果推广至非光滑射影情形。

提出的方法

• 构造一个以 X 的有限仿射开覆盖的单体复形为指标集的环图 A·，为每个单体 α 分配 Aα = Γ(Uα, O_X)。
• 在 A·-模的范畴 Mod(A·) 上赋予一个由生成集生成的模型结构，其中弱等价关系为逐点 quasi-iso。
• 将 A·-模定义为过渡映射 gαβ 是 quasi-iso 的模，从而将拟相干性推广至图的设定。
• 通过导出推出与拉回构造，建立拟相干 A·-模的同伦范畴与 D(QCoh(X)) 之间的等价性。
• 构造 ℝHom(F,F) 的三种模型：通过 A·-模、通过 Thom-Whitney 总化，以及在存在局部自由化解析时的模型。
• 为导出自同态复形配备 DG-李代数结构，并证明其通过 Maurer-Cartan 方程控制 F 的无穷小形变。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为一般有限维诺特诺埃斯分离概形 X 构造 D(QCoh(X)) 的显式 DG 增强，而无需假设光滑性或射影性？
• RQ2 对于不具有局部自由化解析的准 coherent 层 F，如何显式计算其导出自同态复形 ℝHom(F,F)？
• RQ3 导出自同态上的 DG-李代数结构在控制 F 的无穷小形变中起什么作用？
• RQ4 即使 F 缺乏局部自由化解析，形变函子 Def_F 是否仍与自同态的 DG-李代数的 Maurer-Cartan 函子等价？
• RQ5 能否通过此新模型恢复并推广经典形变理论中由 Ext^1 和 Ext^2 控制的结果？

主要发现

• 拟相干 A·-模的同伦范畴与 D(QCoh(X)) 等价，从而为导出范畴提供了显式的 DG 增强。
• 构造了 ℝHom(F,F) 的三种显式模型：一种通过 A·-模，一种通过 Thom-Whitney 总化，一种在存在局部自由化解析时的模型。
• 导出自同态复形自然携带一个 DG-李代数结构，该结构控制 F 的无穷小形变。
• 即使 F 缺乏局部自由化解析，形变函子 Def_F 仍与自同态的 DG-李代数的 Maurer-Cartan 函子等价。
• 经典结果 T¹Def_F ≅ Ext¹(F,F) 和 Ext²(F,F) 中的障碍被此框架恢复并推广。