[论文解读] A dg Lie model for relative homotopy automorphisms

Alexander Berglund, Bashar Saleh|arXiv (Cornell University)|May 3, 2019

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 3被引用 6

一句话总结

本文为相对同伦自同构的分类空间的万有覆叠构建了一个微分分次李（dg Lie）模型——具体而言，即为一个基本群为平凡的单连通空间 $X$ 的相对同伦自同构的自同构单连环。通过有理同伦论与几何巴尔构造，作者证明了在 $X$ 的好纤维化李模型上，那些在 $A$ 的好纤维化模型上消失的导出代数的正截断，给出了 $B\operatorname{aut}_A(X)$ 的拟同构李模型。该工作填补了文献中的空白，提供了此前未加证明的结果的清晰、概念性的证明。

ABSTRACT

We construct a dg Lie model for the universal cover of the classifying space of the grouplike monoid of homotopy automorphisms of a space that fix a given subspace.

研究动机与目标

• 为 [BM14] 中陈述但未证明的结果提供一个严谨且概念性的证明，避免依赖 [Tan83] 的潜在繁琐推广。
• 为 $B\operatorname{aut}_A(X)$ 的万有覆叠构建一个 dg Lie 模型，其中 $A\subset X$ 是具有有限 CW 同伦类型的单连通空间的纤维化。
• 证明在 $X$ 的好纤维化李模型上，那些在 $A$ 的好纤维化模型上消失的导出代数的正截断 $\operatorname{Der}(\mathbb{L}_X\|\mathbb{L}_A)\langle 1\rangle$ 是 $B\operatorname{aut}_A(X)$ 的李模型。
• 通过构造反例，阐明在李模型映射 $i:\mathbb{L}_A\to\mathbb{L}_X$ 不是纤维化时，为何该条件是必要的。

提出的方法

• 作者利用几何巴尔构造，将 $B\operatorname{aut}_{A,\circ}(X)$ 表示为 $B(*, \operatorname{aut}_{*,\circ}(X), \operatorname{map}_*^\iota(A,X))$，将其与基于同伦自同构在从 $A$ 到 $X$ 的带基点映射空间上的作用联系起来。
• 他们应用已知的 $B\operatorname{aut}_{*,\circ}(X)$ 和 $\operatorname{map}_*^\iota(A,X)$ 的有理模型，构造了巴尔构造的扭曲半直积李模型 $\mathfrak{g} \ltimes_\xi L$。
• 关键构造是正截断 $\operatorname{Der}(\mathbb{L}_X\|\mathbb{L}_A)\langle 1\rangle$，当包含映射 $\mathbb{L}_A\to\mathbb{L}_X$ 是纤维化时，该构造对 $B\operatorname{aut}_A(X)$ 的万有覆叠建模。
• 证明依赖于已知的 $B\operatorname{aut}_{*,\circ}(X)$ 和 $\operatorname{map}_*^\iota(A,X)$ 的有理同伦型，从而可使用同调代数技术构建该模型。
• 通过构造反例 $S^3 \subset D^4$，表明若李模型映射不是纤维化，则朴素的导出代数无法正确建模同伦型。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用有理同伦论与几何巴尔构造，为 $B\operatorname{aut}_A(X)$ 的万有覆叠构建一个 dg Lie 模型？
• RQ2 当 $\mathbb{L}_A\to\mathbb{L}_X$ 是纤维化时，正截断 $\operatorname{Der}(\mathbb{L}_X\|\mathbb{L}_A)\langle 1\rangle$ 是否是 $B\operatorname{aut}_A(X)$ 的拟同构李模型？
• RQ3 若李模型映射 $\mathbb{L}_A\to\mathbb{L}_X$ 不是纤维化，该李模型会发生什么？
• RQ4 在如 $D^4$（其边界为 $S^3$）这样的有边流形情况下，该模型表现如何？

主要发现

• 当 $\mathbb{L}_A\to\mathbb{L}_X$ 是纤维化时，dg Lie 模型 $\operatorname{Der}(\mathbb{L}_X\|\mathbb{L}_A)\langle 1\rangle$ 是 $B\operatorname{aut}_A(X)$ 的万有覆叠的拟同构李模型。
• 该模型源自 $\operatorname{aut}_{*,\circ}(X)$ 在 $\operatorname{map}_*^\iota(A,X)$ 上作用的几何巴尔构造，使用了各分量的已知有理模型。
• 正截断 $\langle 1\rangle$ 确保了模型捕捉到了分类空间的单连通同伦型。
• 反例表明，若李模型映射 $\mathbb{L}_A\to\mathbb{L}_X$ 不是纤维化，则 $\operatorname{Der}(\mathbb{L}_X\|\operatorname{im}(i))$ 可能不与正确模型拟同构——具体而言，$\operatorname{ad}_a$ 是 $\operatorname{Der}(\mathbb{L}(a,b)\|[a,a])$ 中的一个非平凡循环。
• 对于 $X = D^4$ 且 $A = S^3$，模型 $\operatorname{Der}(\mathbb{L}(u,v)\|\mathbb{L}(u))$ 是同伦平凡的，与 $\operatorname{aut}_{S^3}(D^4)$ 是单连通的事实一致。