[论文解读] A diagrammatic categorification of the q-Schur algebra

Marco Mackaay, Marko Stošić+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 7, 2010

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 33被引用 15

一句话总结

本文通过在柯洪诺夫和劳达的图解2-范畴U(sln)的商构造中，使用gln-权作为图中区域的标签，实现了对q-舒尔代数Sq(n, d)的图解范畴化。关键结果是：S(n, d)的格罗滕迪克群与Q(q)张量后同构于Sq(n, d)，从而通过一个图解框架实现了对q-舒尔代数的范畴化，该框架在d ≤ n时也嵌入了索尔格尔的A型单峰范畴。

ABSTRACT

In this paper we categorify the q-Schur algebra S(n,d) as a quotient of Khovanov and Lauda's diagrammatic 2-category U(sln). We also show that our 2-category contains Soergel's monoidal category of bimodules of type A, which categorifies the Hecke algebra H(d), as a full sub-2-category if d does not exceed n. For the latter result we use Elias and Khovanov's diagrammatic presentation of Soergel's monoidal category of type A.

研究动机与目标

• 构建一个图解2-范畴S(n, d)，以范畴化q-舒尔代数Sq(n, d)。
• 通过使用gln-权而非sln-权来扩展柯洪诺夫和劳达对U(sln)的图解范畴化，从而将之推广至U(gln)。
• 证明当d ≤ n时，S(n, d)作为全子2-范畴包含索尔格尔的A型单峰范畴，从而范畴化包含关系Hq(d) ⊂ Sq(n, d)。
• 通过引入使用gln-权的新符号约定，修正柯洪诺夫和劳达对˙U(sln)的带符号范畴化中的符号错误，从而在S(n, d)的背景下恢复q-舒尔代数的循环性。

提出的方法

• 通过将柯洪诺夫和劳达的U(sln)扩展为使用gln-权作为2-态射中区域标签，定义一个新的2-范畴U(gln)。
• 通过施加关系以消除在V⊗d的分解中未出现的gln-权标签的图，将S(n, d)定义为U(gln)的商。
• 利用伊莱亚斯和柯洪诺夫对索尔格尔范畴的图解表示，当d ≤ n时，将Hecke代数Hq(d)嵌入S(n, d)。
• 建立从索尔格尔的双模范畴到S(n, d)的全忠实2-函子，以范畴化包含关系Hq(d) ⊂ Sq(n, d)。
• 通过利用映射γλ: Vλ → KQ(q)0(˙Vλ)的满射性，证明S(n, d)的格罗滕迪克群与Q(q)张量后同构于Sq(n, d)。
• 猜想对所有λ ∈ Λ+(n, d)，有KQ(q)0(˙Vλ) ∼= Vλ，其中对特殊情形如λ = (d)和n = 2已有部分证明。

实验结果

研究问题

• RQ1 q-舒尔代数Sq(n, d)能否通过基于gln-权构建的图解2-范畴实现范畴化？
• RQ2 作为U(gln)商构造的图解2-范畴S(n, d)是否能给出具有正确格罗滕迪克群的Sq(n, d)范畴化？
• RQ3 在图解框架中，包含关系Hq(d) ⊂ Sq(n, d)如何以范畴方式体现？
• RQ4 能否通过使用gln-权修正柯洪诺夫和劳达对˙U(sln)的带符号范畴化中的符号错误，从而在S(n, d)的背景下恢复循环性？
• RQ5 是否存在威廉姆森在奇异索尔格尔双模上的形式在n = d情形下的图解解释，其与S(n, d)的格罗滕迪克群有何关联？

主要发现

• 将S(n, d)定义为U(gln)的商，通过移除在V⊗d中未出现的gln-权标签的图，其格罗滕迪克群与Q(q)张量后同构于Sq(n, d)。
• 当d ≤ n时，存在从索尔格尔双模范畴到S(n, d)的全忠实2-函子，范畴化了包含关系Hq(d) ⊂ Sq(n, d)。
• 映射γλ: Vλ → KQ(q)0(˙Vλ)是满射，在λ = (d)的情形下为同构，从而证明KQ(q)0(˙Vλ) ∼= Vλ对这一权成立。
• 当n = 2且λ = (d−c, c)满足0 < 2c ≤ d时，通过涉及函子Πd,d−2c与同构γ(d−2c,0)的交换正方形，证明了γ(d−c,c)的满射性，从而得出KQ(q)0(˙V(d−c,c)) ∼= V(d−c,c)。
• 作者猜想对所有λ ∈ Λ+(n, d)，有KQ(q)0(˙Vλ) ∼= Vλ，若成立，则S(n, d)的投射模范畴的格罗滕迪克群将范畴化Sq(n, d)的不可约表示。
• 猜想从柯洪诺夫-劳达的环状商范畴R(∗, λ)到Vλ的商的函子是等价的，其中该商通过将最右区域中所有正次数的泡泡设为零得到。