[论文解读] A diagrammatic category for generalized Bott-Samelson bimodules and a diagrammatic categorification of induced trivial modules for Hecke algebras

Ben Elias|arXiv (Cornell University)|Sep 10, 2010

Algebraic structures and combinatorial models被引用 5

一句话总结

本文通过提供对任意抛物子群 $W_J \subset S_n$ 的 $R$-双模子范畴的图解表示，将图解范畴化推广至广义 Bott-Samelson 双模，该子范畴由 $R \otimes_{R^J} R$ 生成，并构建了 Hecke 代数的诱导平凡表示的图解范畴化。关键结果是利用高阶 Coxeter 理论及投影/包含映射，显式计算了 $W_J$ 中最长元素的约化表达式 $x,y$ 对应的复合 $M_x \circ M_y$。

ABSTRACT

Let $R$ be the polynomial ring of the reflection representation of $W=S_n$, and for any parabolic subgroup $W_J \subset W$ corresponding to a subset $J$ of the Dynkin diagram, let $R^J$ be the subring of polynomials invariant under $W_J$. When $J=\{i\}$ is a singleton, denote the ring $R^i$ and the corresponding reflection $s_i$. Previously, in joint work with Mikhail Khovanov, the subcategory of $R$-bimodules generated monoidally by $R \otimes_{R^i} R$ for arbitrary $i$ was given a diagrammatic presentation, so that morphisms may be viewed as labelled planar graphs. Here, a diagrammatic presentation is given for the subcategory generated by $R \otimes_{R^J} R$ for arbitrary $J$, extending the previous diagrammatics. In addition, a diagrammatic presentation is given for a certain subcategory of $R^J-R$-bimodules which categorifies the representation of the Hecke algebra of $W$ constructed by inducing the trivial representation of the Hecke algebra of $W_J$. Whenever $x=s_{i_1}s_{i_2}\... s_{i_d}$ is a reduced expression for the longest element of $W_J$, the $R$-bimodule $R \otimes_{R^J} R$ will be a direct summand of $M_x = R \otimes_{R^{i_1}} R \otimes_{R^{i_2}} R \otimes \... \otimes_{R^{i_d}} R$. The key result is an explicit computation of the map $M_x o M_y$, for two reduced expressions $x,y$ of the longest element, given by projecting $M_x o R \otimes_{R^J} R$ and including $R \otimes_{R^J} R o M_y$. The construction of this map uses the higher Coxeter theory of Manin and Schechtman.

研究动机与目标

• 将 $R$-双模的图解表示从单个反射推广至任意抛物子群 $W_J \subset S_n$。
• 构建由 $W_J$ 的 Hecke 代数的平凡表示诱导出的 Hecke 代数表示的图解范畴化。
• 为 $W_J$ 中最长元素的约化表达式 $x,y$ 提供 $M_x \circ M_y$ 的显式描述。
• 将基于 $R \otimes_{R^i} R$ 的先前图解方法推广至任意 $J$ 的情形 $R \otimes_{R^J} R$。
• 应用 Manin 和 Schechtman 的高阶 Coxeter 理论，以计算范畴化设定中态射的复合。

提出的方法

• 使用 $W = S_n$ 的反射表示的多项式环 $R$ 及其 $W_J$-不变子环 $R^J$，定义广义 Bott-Samelson 双模。
• 通过带标签的平面图，构建由 $R \otimes_{R^J} R$ 生成的子范畴的图解表示。
• 定义 $R^J$-$R$-双模的一个子范畴，以范畴化 $W$ 的 Hecke 代数的诱导平凡表示。
• 将态射表示为带标签的平面图，其标签对应于 Hecke 代数的生成元与关系。
• 应用高阶 Coxeter 理论，通过投影 $M_x \otimes R \otimes_{R^J} R$ 和包含 $R \otimes_{R^J} R \otimes M_y$，计算复合 $M_x \circ M_y$。
• 证明对于 $W_J$ 中最长元素的任意约化表达式 $x = s_{i_1} \cdots s_{i_d}$，有 $R \otimes_{R^J} R$ 是 $M_x = R \otimes_{R^{i_1}} R \otimes \cdots \otimes_{R^{i_d}} R$ 的直和项。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将 $R$-双模的图解表示从单个反射推广至任意抛物子群 $W_J$？
• RQ2 如何描述 $R^J$-$R$-双模子范畴的图解结构，该子范畴范畴化了 $W$ 的 Hecke 代数的诱导平凡表示？
• RQ3 如何显式计算 $W_J$ 中最长元素的约化表达式 $x,y$ 对应的复合 $M_x \circ M_y$？
• RQ4 高阶 Coxeter 理论在该范畴化设定中如何促进态射复合的计算？
• RQ5 将 $R \otimes_{R^J} R$ 视为 $M_x$ 的直和项，其与范畴图解结构有何关联？

主要发现

• 由 $R \otimes_{R^J} R$ 生成的 $R$-双模子范畴，可通过带标签的平面图实现图解表示。
• 成功构建了由 $W_J$ 的 Hecke 代数的平凡表示诱导出的 Hecke 代数表示的图解范畴化。
• 通过投影与包含映射，显式计算了 $W_J$ 中最长元素的约化表达式 $x,y$ 对应的复合 $M_x \circ M_y$。
• $M_x \circ M_y$ 的映射通过投影 $M_x \otimes R \otimes_{R^J} R$ 和包含 $R \otimes_{R^J} R \otimes M_y$ 显式实现。
• 该构造依赖于 Manin 和 Schechtman 的高阶 Coxeter 理论，以处理态射复合的结构。
• 证明了对于 $W_J$ 中最长元素的任意约化表达式，$R$-双模 $R \otimes_{R^J} R$ 是 $M_x = R \otimes_{R^{i_1}} R \otimes \cdots \otimes_{R^{i_d}} R$ 的直和项。