[论文解读] A diagrammatic method to compute the effective Hamiltonian of driven nonlinear oscillators

Xu Xiao, Jayameenakshi Venkatraman+3 more|arXiv (Cornell University)|Apr 26, 2023

Quantum Information and Cryptography被引用 4

一句话总结

本文提出了一种新颖的图解方法，用于通过自洽的相空间微扰展开计算受驱动非线性振子的有效哈密顿量。每个图对应一个带有由拓扑计数导出的系数的哈密顿量项，从而实现任意阶的自动计算，并在 $\hbar\rightarrow0$ 极限下与已知的Schrieffer-Wolff方法和经典谐波平衡法保持一致。

ABSTRACT

In this work, we present a new diagrammatic method for computing the effective Hamiltonian of driven nonlinear oscillators. At the heart of our method is a self-consistent perturbation expansion developed in phase space, which establishes a direct correspondence between the diagram and algebra. Each diagram corresponds to a Hamiltonian term, the prefactor of which, like those in Feynman diagrams, involves a simple counting of topologically equivalent diagrams. Leveraging the algorithmic simplicity of our diagrammatic method, we provide a readily available computer program that generates the effective Hamiltonian to arbitrary order. We show the consistency of our schemes with existing perturbation methods such as the Schrieffer-Wolff method. Furthermore, we recover the classical harmonic balance scheme from our result in the limit of $\hbar ightarrow0$. Our method contributes to the understanding of dynamic control within quantum systems and achieves precision essential for advancing future quantum information processors. To demonstrate its value and versatility, we analyze five examples from the field of superconducting circuits. These include an experimental proposal for the Hamiltonian stabilization of a three-legged Schrödinger cat, modeling of energy renormalization phenomena in superconducting circuits experiments, a comprehensive characterization of multiphoton resonances in a driven transmon, a proposal for an inductively shunted transmon circuit, and a characterization of classical ultra-subharmonic bifurcation in driven oscillators. Lastly, we benchmark the performance of our method by comparing it with experimental data and exact Floquet numerical diagonalization.

研究动机与目标

• 开发一种系统化、图解化的方法，用于计算量子系统中受驱动非线性振子的有效哈密顿量。
• 建立图的拓扑结构与哈密顿量中代数项之间的直接对应关系，简化微扰计算。
• 提供一种计算高效、可扩展的算法，可将有效哈密顿量生成至任意阶。
• 确保在 $\hbar\rightarrow0$ 极限下与现有方法（如Schrieffer-Wolff变换和经典谐波平衡法）的一致性。
• 通过与实验数据及超导电路模型中的精确Floquet对角化方法进行基准测试，验证该方法。

提出的方法

• 该方法采用直接在相空间中构建的自洽微扰展开，避免了传统的时序有序或Dyson级数方法。
• 每个图代表有效哈密顿量中的一个特定项，其系数通过计数拓扑等价图的数量确定。
• 图解规则源自相空间中的生成泛函形式，可系统枚举所有贡献项。
• 该方法被实现为计算机程序，可自动生成任意期望阶次的有效哈密顿量。
• 该方法在弱耦合极限下自然恢复Schrieffer-Wolff变换，并在 $\hbar\rightarrow0$ 时退化为经典谐波平衡方法。
• 该形式化方法应用于五个超导电路实例，包括多光子共振和量子猫态的稳定化。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地构建一种图解方法，以在相空间中计算受驱动非线性振子的有效哈密顿量？
• RQ2 此类系统中，图的拓扑结构与哈密顿量项的系数之间存在何种精确的代数对应关系？
• RQ3 该方法如何确保与Schrieffer-Wolff和经典谐波平衡等既有的微扰框架的一致性？
• RQ4 该方法在多大程度上可实现自动化并扩展至任意阶微扰？
• RQ5 当在超导电路中与精确数值对角化和实验数据进行基准测试时，该方法表现如何？

主要发现

• 该图解方法在弱耦合极限下成功重现了Schrieffer-Wolff变换，证实了其与已知量子微扰理论的一致性。
• 在经典极限（$\hbar\rightarrow0$）下，该方法恢复了谐波平衡方案，验证了其经典对应关系。
• 该方法通过专用计算机程序实现了有效哈密顿量的自动高阶计算，显著减少了手动推导的工作量。
• 与精确Floquet对角化方法的基准测试显示，在多个超导电路模型中，能量位移和共振结构均表现出极佳的一致性。
• 该方法能准确模拟复杂现象，如能量重正化、多光子共振以及受驱动振子中的超亚谐波分岔。
• 该方法成功支持了实验方案，包括通过工程化哈密顿量控制实现三足Schrödinger猫态的稳定化。