[论文解读] A diameter bound for Sasaki manifolds with application to uniqueness for Sasaki-Einstein structure

Yasufumi Nitta, Ken'ichi Sekiya|ArXiv.org|May 31, 2009

Geometry and complex manifolds参考文献 14被引用 10

一句话总结

本文为具有正横截 Ricci 曲率的完备 Sasaki 流形建立了 Myers 型直径上界，证明了直径至多为 $ 2\tau^{-1/2} \pi \sqrt{2n-1} $，其中 $ \tau $ 是横截 Ricci 曲率的下确界。作为应用，通过借鉴 Bando 和 Mabuchi 的变分方法，该文在非环面情形下推广了以往结果，证明了在横截全纯结构的自同构群的单位连通分支作用下，紧致 Sasaki 流形上 Sasaki-Einstein 度量的唯一性。

ABSTRACT

In this paper we give a diameter bound for Sasaki manifolds with positive transverse Ricci curvature. As an application, we obtain the uniqueness of Sasaki-Einstein metrics on compact Sasaki manifolds modulo the action of the identity component of the automorphism group for the transverse holomorphic structure.

研究动机与目标

• 为具有正横截 Ricci 曲率的完备 Sasaki 流形建立直径上界，将 Myers 定理推广至 Sasaki 设置。
• 在紧致 Sasaki 流形上，证明 Sasaki-Einstein 度量在横截全纯结构的自同构群单位连通分支作用下的唯一性。
• 通过应用 Kähler 几何中的变分方法，去除先前唯一性结果中对环面假设的依赖。
• 将 Bando 和 Mabuchi 的论证推广至 Sasaki 流形的横截 Kähler 设置。

提出的方法

• 利用子黎曼几何中极小法向测地线的变分公式，推导出 Myers 型直径上界。
• 利用 Reeb foliation 上的横截 Kähler 结构，定义横截 Ricci 曲率及其曲率上界。
• 利用横截全纯结构和基本 Kähler 潜势函数，定义类似于 Kähler 几何中的泛函 $ I_{\eta} $、$ J_{\eta} $ 和 $ M_{\eta} $。
• 建立泛函 $ L $、$ M $、$ I $ 和 $ J $ 在基本函数的常数平移下的 1-上循环条件与不变性性质。
• 应用横截 K-能量泛函 $ M_{\eta} $ 与 $ C^0 $-估计工具，通过演化方程 $ \frac{d}{dt}(I_{\eta} - J_{\eta}) = \frac{1}{V} \int_S \varphi_t \Box_t \dot{\varphi}_t \, (\frac{1}{2}d\eta_{\varphi_t})^n \wedge \eta_{\varphi_t} $。
• 利用 $ I_{\eta} $、$ J_{\eta} $ 与 $ I_{\eta} - J_{\eta} $ 的非负性及不等式关系，控制几何结构并证明唯一性。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有正横截 Ricci 曲率的完备 Sasaki 流形的直径的最优上界是什么？
• RQ2 是否可以在不假设环面对称性的前提下，建立 Sasaki-Einstein 度量的唯一性？
• RQ3 如何将 Bando-Mabuchi 对 Kähler-Einstein 度量的论证方法，适配至 Sasaki 流形的横截 Kähler 设置？
• RQ4 横截 K-能量与基本 Kähler 潜势泛函在控制 Sasaki-Einstein 结构几何中起什么作用？

主要发现

• 若完备 Sasaki 流形的横截 Ricci 曲率有下界 $ \tau > 0 $，则其直径满足 $ \text{diam}(S,g) \leq 2\pi \sqrt{\frac{2n-1}{\tau}} $。
• 横截全纯结构的自同构群的单位连通分支在所有与给定 Sasaki 结构相容的 Sasaki-Einstein 度量集合上作用传递。
• 该唯一性结果无需假设环面对称性，推广了 Cho、Futaki 与 Ono 的早期结果。
• 泛函 $ I_{\eta} $、$ J_{\eta} $ 与 $ M_{\eta} $ 满足关键恒等式与不等式，包括 $ 0 \leq I_{\eta}(\varphi) \leq (n+1)(I_{\eta}(\varphi) - J_{\eta}(\varphi)) \leq nI_{\eta}(\varphi) $，这对 $ C^0 $-估计至关重要。
• 沿基本势函数路径，泛函 $ I_{\eta} - J_{\eta} $ 的演化由方程 $ \frac{d}{dt}(I_{\eta} - J_{\eta}) = \frac{1}{V} \int_S \varphi_t \Box_t \dot{\varphi}_t \, (\frac{1}{2}d\eta_{\varphi_t})^n \wedge \eta_{\varphi_t} $ 控制。